`a)`

Xét `ΔABC` và `ΔEBA` có:

       `hat{BAC}=hat{BEA}=90^o`

            `hat{B}:chung`

`⇒ΔABC`$\sim$`ΔEBA(g.g)(đpcm)`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:

                `BC²=AB²+AC²`

                `BC²=6²+8²`

                `BC²=36+64`

                `BC²=100`

                `BC=`$\sqrt[]{100}$ 

                `BC=10(cm)`

Vì `ΔABC`$\sim$`ΔEBA(g.g)`

`⇒(AC)/(EA)=(BC)/(BA)`

`⇒8/(EA)=10/6`

`⇒EA=(8.6)/10`

`⇒EA=48/10`

`⇒EA=4,8(cm)`

`b)`

Xét `ΔBAD` và `ΔBEF` có:

     `hat{BAD}=hat{BEF}=90^o`

      `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

`⇒ΔBAD`$\sim$`ΔBEF(g.g)`

`⇒(BD)/(BF)=(AD)/(EF)`

`⇒BD.EF=BF.AD(đpcm)`

`c)`

Theo câu `b)ΔBAD`$\sim$`ΔBEF(g.g)`

`⇒hat{D_1}=hat{F_1}(2` góc tương ứng `)`

Mà `hat{F_1}=hat{F_2}(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒hat{D_1}=hat{F_2}`

`⇒AFD` cân tại `A`

`⇒AF=AD(` tính chất `Δ` cân `)(đpcm)`

Xét `Δ ABC` có `AD` là tia phân giác của `hat{ABC}` nên ta có:

                               `(AD)/(CD)=(BA)/(BC)`

                         `⇒(AD)/(AD+CD)=(BA)/(BA+BC)`

                         `⇒(AD)/(AC)=(BA)/(BA+BC)`

                         `⇒(AD)/8=6/(6+10)`

                         `⇒AD=(8.6)/(6+10)`

                         `⇒AD=48/16`

                         `⇒AD=3(cm)`

Mà `AF=AD(cmt)`

`⇒AF=3cm`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `ΔABC` và `ΔEBA` có:

         `\hat{ABC}` chung

        `\hat{BAC}=\hat{BEA}(=90^o)`

            `=> ΔABC` $\backsim$ `ΔEBA(g.g)`

   `ΔABC` vuông tại `A`

      `=> BC^2=AB^2+AC^2`(Định lí `Pytago)`

     hay `BC^2 = 6^2+8^2`

          `=> BC=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)`

 `2S_(ABC)=AE.BC=AB.AC=AE.10=6.8`

        `=> AE=(6.8)/(10)=4,8(cm)`

`b)` Xét `ΔBAD` và `ΔBEF` có:

          `\hat{BAD}=\hat{BEF}(=90^o)`

              `\hat{ABD}=\hat{EBF}`

           `=> ΔBAD` $\backsim$ `ΔBEF(g.g)`

              `=> (BD)/(BF)=(AD)/(EF)`

              `=> BD.EF=BF.AD`

`c)` Ta có: `\hat{ADF}=\hat{BFE}`(do ` ΔBAD` $\backsim$ `ΔBEF)`

          mà `\hat{BFE}=\hat{AFE}`(đối đỉnh)

             `=> \hat{ADF}=\hat{AFE}`

             `=> ΔADF` cân tại `A`

               `=> AD =AF`

`ΔABC` có `BD` là tia phân giác của `\hat{B}`

        `=> (AD)/(AB)=(CD)/(BC)` hay `(AD)/6=(CD)/(10)`

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

       `(AD)/6=(CD)/(10)=(AD+CD)/(6+10)=(AC)/(16)=8/(16)=1/2`

`=> AD = 6 . 1/2 = 3(cm)`

  mà `AF=AD`

    `=> AF = 3(cm)`