Giải thích các bước giải:

$a)\Delta AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$

$\Rightarrow AB.AD=AH^2$

$\Delta AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HE$

$\Rightarrow AE.AC=AH^2\\ \Rightarrow AB.AD=AE.AC\\ \Rightarrow \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta AED$

$\widehat{DAE}$: chung

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\\ \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta AED$

$b)ADHE$ có $\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^\circ$

$\Rightarrow ADHE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow DE=AH$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow AH^2=HB.HC\\ \Rightarrow AH=\sqrt{HB.HC}=3(cm)\\ \Rightarrow DE=3cm\\ c)\Delta ABH, \tan \widehat{ABC}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow \widehat{ABC} \approx 56,31^\circ\\ d)\Delta ABC \backsim \Delta AED\\ \Rightarrow \dfrac{S_{\Delta AED}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2$

$\Delta AHB$ vuông tại $H$

$\Rightarrow AB^2=AH^2+BH^2$

$\Delta AHB$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC^2=AH^2+CH^2$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+CH^2\\ \Rightarrow BC=\sqrt{2AH^2+BH^2+CH^2}=6,5(cm)\\ \Rightarrow \dfrac{S_{\Delta AED}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\dfrac{3}{6,5}\right)^2=\dfrac{36}{169}\\ \Rightarrow S_{\Delta AED}=\dfrac{36}{169}S_{\Delta ABC}=\dfrac{36}{169}.\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{27}{13}(cm^2)$