Giải thích các bước giải:

$a)"\forall \ n \in \mathbb{N^*}: n^2-1$ là bội số của $2"$

Phát biểu: "Với mọi n khác $0$ thuộc tập số tự nhiên, $n^2-1$ là bội số của $2"$

Mệnh đề sai, do $2 \in \mathbb{N^*}, 2^2-13 \not\vdots 2$

Mệnh đề phủ định: $"\exists \ n \in \mathbb{N^*}: n^2-1$ không là bội số của $2"$

$b)"\forall \ x \in \mathbb{R}: x^2-2x+2 >0"$

Phát biểu: "Với mọi $x$ thuộc tập số thực, $x^2-2x+2$ lớn hơn $0"$

Mệnh đề đúng, do $x^2-2x+2=(x-1)^2+1 >0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}$

Mệnh đề phủ định: $"\exists \ x \in \mathbb{R}: x^2-2x+2 \le 0"$

$c)"\exists \ n \in \mathbb{N}: 2n+1$ chia hết cho $3"$

Phát biểu: "Tồn tại $n$ thuộc tập số tự nhiên, $2n+1$ chia hết cho $3"$

Mệnh đề đúng do $n=1 \in \mathbb{N}, 2.1+1=3 \vdots 3$

Mệnh đề phủ định: $"\forall \ n \in \mathbb{N}: 2n+1$ không chia hết cho $3"$

$d)"\exists \ y \in \mathbb{R}: y^3=8"$

Phát biểu: "Tồn tại số thực mà lập phương của nó bằng $8"$

Mệnh đề đúng do $y=3 \in \mathbb{R}, 2^3=8 $

Mệnh đề phủ định: $"\forall \ y \in \mathbb{R}: y^3 \ne 8"$

$e)"\forall \ x \in \mathbb{R}: |x|<5 \Leftrightarrow x<5"$

Phát biểu: "Với mọi số thực mà giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn $5$ thì nó nhỏ hơn $5$"

Mệnh đề đúng, do $|x|<5 \Leftrightarrow -5<x<5$

Mệnh đề phủ định:$"\exists \ x \in \mathbb{R}: x>5 \Rightarrow |x|>5 \veebar |x|>5 \Rightarrow x>5 "$

$f)"\exists \ x \in \mathbb{R}:x>1 \Rightarrow \dfrac{2x}{x+1} <1 "$

Phát biểu: "Tồn tại số thực $x$ lớn hơn $1$ mà $\dfrac{2x}{x+1}$ nhỏ hơn $1"$

Mệnh đề sai do $\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{2x+2-2}{x+1}=2-\dfrac{2}{x+1}$

$x>1 \Rightarrow \dfrac{2}{x+1} < \dfrac{2}{1+1}=1 \ \forall \ x >1$

$\Rightarrow 2-\dfrac{2}{x+1}>1 \ \forall \ x >1$

Mệnh đề phủ định: $"\forall \ x \in \mathbb{R}:\dfrac{2x}{x+1} \ge 1 \Rightarrow x \le 1 "$