Giải thích các bước giải:

$a)\Delta EMN$ cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{EMN}=\widehat{ENM}\\ \Leftrightarrow \widehat{BMN}=\widehat{ANM}$

Xét $\Delta BMN$ và $\Delta ANM$

$MN$: chung

$\widehat{BMN}=\widehat{ANM}\\ \widehat{MBN}=\widehat{NAM}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta BMN = \Delta ANM\\ b)\Delta EMN, MA \perp EN, NB \perp EM, MA \cap NB=I$

$\Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta EMN$

$\Rightarrow EI \perp MN\\ \Leftrightarrow EH \perp MN$

$\Delta EMN$ cân tại $E$

$\Rightarrow EH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$c)\Delta EMN$ cân tại $E$

$\Rightarrow EM=EN=AN+AE=5(cm)$

$\Delta EAM$ vuông tại $A$
$\Rightarrow MA=\sqrt{EM^2-EA^2}=\sqrt{21}$

$d)$Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $H$

$\Rightarrow HA=HA'$

Xét $\Delta AHN$ và $\Delta A'HM$

$AH=A'H\\ \widehat{H_1}=\widehat{H_2}( đ đ)\\ HN=HM\\ \Rightarrow \Delta AHN = \Delta A'HM\\ \Rightarrow AN = A'M, \widehat{A_1}=\widehat{A'}\\ \Rightarrow AN // A'M$

Mà $MA \perp AN$

$\Rightarrow MA \perp A'M$

Xét $\Delta A'MA$ và $\Delta NAM$

$AM:$ chung

$\widehat{A'MA}=\widehat{NAM}=90^\circ\\ A'M=AN\\ \Rightarrow \Delta A'MA = \Delta NAM\\ \Rightarrow A'A =  NM\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}A'A=\dfrac{1}{2}NM\\ \Leftrightarrow HA=HM=HN$

$\Rightarrow \Delta AHM$ cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{M_1}\\ \Delta BMN = \Delta ANM\\ \Rightarrow BM=AN$

Mà $EM=EN$

$\Rightarrow BE=AE$

$\Rightarrow \Delta BEA$ cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{A_4}=\dfrac{\widehat{BEA}}{2}=\dfrac{\widehat{MEN}}{2}$

$\Delta EMN$ cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{ENM}=\dfrac{\widehat{MEN}}{2}\\ \Rightarrow \widehat{A_4}=\widehat{ENM}\\ \Rightarrow BA//MN\\ \Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{M_1}$

Mà $\widehat{A_2}=\widehat{M_1}$

$\Rightarrow \widehat{A_3}=\widehat{A_2}$

$\Rightarrow AM$ là phân giác $\widehat{BAH}$

Chứng minh tương tự $BN$ là phân giác $\widehat{ABH}$

$AM \cap BN=I$

$\Rightarrow I$ là giao điểm 3 đường phân giác $\Delta ABH$

$\Rightarrow I$ cách đều 3 cạnh $\Delta ABH$