Cách 1:

+) `TH1: AB>AD`

Qua $D$ vẽ đường thẳng vuông góc $Az$ tại $E$ và cắt $Ax$ tại $F$

Xét $∆ADF$ có $AE$ vừa là đường cao và đường phân giác

`=>∆ADF` cân tại $A$

`=>AD=AF`

$\\$

Xét $∆ACD$ và $∆ACF$ có:

`\qquad AC` là cạnh chung 

`\qquad \hat{CAF}=\hat{CAD}` (do $Az$ là phân giác của `\hat{xAy}`)

`\qquad AD=AF` (c/m trên)

`=>∆ACD=∆ACF` (c-g-c)

`=>CD=CF` (hai cạnh tương ứng)

`\qquad \hat{ACF}=\hat{ACD}` (hai góc tương ứng)

$\\$

`\hat{BFC}` là góc ngoài $∆ACF$

`=>\hat{BFC}= \hat{CAF}+\hat{ACF}` $(1)$

$\\$

`Az` là tia phân giác của `\hat{xAy}` (gt)

`=>\hat{xAy}=2\hat{xAz}`

Vì `\hat{xAy}+\hat{BCD}=180°` (gt)

`=>2\hat{xAz}+\hat{BCF}+\hat{ACF}+\hat{ACD}=180°`

`=>2\hat{CAF}+\hat{BCF}+\hat{ACF}+\hat{ACF}=180°`

`=>2(\hat{CAF}+\hat{ACF})+\hat{BCF}=180°` $(2)$

Từ `(1);(2)=>2\hat{BFC}+\hat{BCF}=180°`

Mà `\hat{BFC}+\hat{FBC}+\hat{BCF}=180°` (tổng $3$ góc trong $1$ tam giác)

`=>2\hat{BFC}=\hat{BFC}+\hat{FBC}`

`=>2\hat{BFC}-\hat{BFC}=\hat{FBC}`

`=>\hat{BFC}=\hat{FBC}`

`=>∆BCF` cân tại $C$

`=>CB=CF`

Mà $CD=CF$ (c/m trên)

`=>CB=CD`

`=>∆BCD` cân tại $C$ (đpcm)

$\\$

+) `TH2: AB<AD` (tương tự `TH1`)

$\\$

Cách 2:

Vẽ $CH\perp Ax$ tại $H$; $CK\perp Ay$ tại $K$

+) `TH1: AB>AD`

Xét $∆AHC$ và $∆AKC$ có:

`\qquad \hat{AHC}=\hat{AKC}=90°`

`\qquad AC` là cạnh chung

`\qquad \hat{CAH}=\hat{CAK}` (do $Az$ là phân giác `\hat{xAy}`)

`=>∆AHC=∆AKC` (ch-gn)

`=>CH=CK` (hai cạnh tương ứng)

$\\$

Vì `\hat{xAy}+\hat{BCD}=180°`

`=>\hat{xAy}+\hat{BCA}+\hat{DCA}=180°` $(1)$

$\\$

$∆ACH$ vuông tại $H$

`=>\hat{CAH}+\hat{HCA}=90°` (hai góc phụ nhau)

$∆ACK$ vuông tại $K$

`=>\hat{CAK}+\hat{KCA}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{CAH}+\hat{CAK}+\hat{HCA}+\hat{KCA}=90°+90°=180°`

`=>\hat{xAy}+\hat{HCA}+\hat{KCA}=180°` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{BCA}+\hat{DCA}=\hat{HCA}+\hat{KCA}`

`=>\hat{BCH}+\hat{HCA}+\hat{DCA}=\hat{HCA}+\hat{DCA}+\hat{DCK}`

`=>\hat{BCH}=\hat{DCK}`

$\\$

Xét $∆BCH$ và $∆DCK$ có:

`\qquad \hat{BHC}=\hat{DKC}=90°`

`\qquad CH=CK` (c/m trên)

`\qquad \hat{BCH}=\hat{DCK}`(c/m trên)

`=>∆BCH=∆DCK` (g-c-g)

`=>BC=DC` (hai cạnh tương ứng)

`=>∆BCD` cân tại $C$ (đpcm)

$\\$

+) `TH2: AB<AD` (tương tự $TH1$)