4)

$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AO$ nên $G\in AO, OG=\dfrac{1}{3}OA=\dfrac{R}{3}$

Mà $O$ cố định nên khi $A$ di động trên $(O;R)$ thì $G$ di động trên $\left(O;\dfrac{R}{3}\right)$

5)

a, 

$C_{ABC}=AB+AC+BC$

$BC=2R$ không đổi nên $C_{ABC}\max$ khi $AB+AC\max$ 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số $(AB; AC), (1;1)$:

$(AB.1+AC.1)^2\le (AB^2+AC^2).(1^2+1^2)$

$\to AB+AC\le \sqrt{BC^2.2}=\sqrt{8R^2}=2R\sqrt2$

$\to C_{ABC}\le 2R\sqrt2+2R=2R(\sqrt2+1)$ 

$\max C_{ABC}=2R(\sqrt2+1)$ khi $AB=AC=R\sqrt2$ 

Mặt khác: $R^2+R^2=(R\sqrt2)^2$. Vậy khi $A$ là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$ thì $C_{ABC}\max$ 

b,

Kẻ $AH\bot BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=R.AH$

$S_{ABC}$ đạt $\max$ khi $AH$ lớn nhất 

$\to H\equiv O$

Vậy khi $A$ là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$ thì $S_{ABC}\max$ 

c,

Dễ CM: $\Delta AOI=\Delta BOI, \Delta AJO=\Delta CJO$

$S_{OIAJ}=S_{AIO}+S_{AJO}=\dfrac{1}{2}S_{ABO}+\dfrac{1}{2}S_{AOC}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}$

$\to S_{OIAJ}\max$ khi $S_{ABC}$ đạt GTLN 

Vậy khi $A$ là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$ thì $S_{OIAJ}\max$ 

d,

$S_{BDEC}=\dfrac{1}{2}(EC+BD).BC=R.DE$ 

$S_{BDEC}\min$ khi $DE$ đạt GTNN

Kẻ $EP\bot DE$

$\to DE\ge EP=2R$B

Dấu $=$ xảy ra khi $ED//BC$  

Khi $ED//BC$: tứ giác $EDBC$ là hình chữ nhật 

$OA\bot DE, DE//BC\to OA\bot BC$

$\to BD//OA//EC$ 

Mà $O$ là trung điểm $BC$ nên $A$ là trung điểm $DE$ 

$\to \Delta DOE$ cân tại $O$ do $OA$ là trung tuyến, đường cao 

$\to OD=OE$ 

$\to \Delta DBO=\Delta ECO$ (ch-cgv) 

$\to \widehat{BOD}=\widehat{COE}$

Nhân $2$ hai vế, ta được: $\widehat{BOA}=\widehat{COA}=90^o$ 

Vậy khi $A$ là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$ thì $S_{BDEC}\min$