Đáp án:

$P(Max)=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ khi $x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Cách 1: Đại số

Ta có: $a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$ $(*)$

Thật vậy, $(*) ⇔ (a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$

$⇔ a^2+b^2+2ab \leq 2(a^2+b^2)$

$⇔ (a-b)^2 \geq 0$ (luôn đúng)

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b$

Có: `P=x^2+x\sqrt{1-x^2}=[(x^2-\frac{1}{2})+\sqrt{x^2-x^4}]+\frac{1}{2}`

`\leq \sqrt{2}.\sqrt{x^4-x^2+\frac{1}{4}+x^2-x^4}+\frac{1}{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}`

Dấu $"="$ xảy ra khi: $x^2-\dfrac{1}{2}=\sqrt{x^2-x^4}$

$⇔ \begin{cases}x^2 \geq \dfrac{1}{2}\\x^4-x^2+\dfrac{1}{4}=x^2-x^4\end{cases}$

$⇔ \begin{cases}x^2 \geq \dfrac{1}{2}\\2x^4-2x^2+\dfrac{1}{4}=0\end{cases}$

$⇔ x^2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$

$⇔ x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Vậy $P(Max)=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ khi $x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Cách 2: Giải bằng hình học

Xét đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=1$. Lấy điểm $M$ thuộc đường tròn.

Đặt: $AM=x$

Khi đó, $BM=\sqrt{1-x^2}$ (định lý $Pytago$; $ΔAMB$ vuông tại $M$)

Như vậy, $𝒫=x^2+x\sqrt{1-x^2}=AM^2+AM.MB$

Từ $M$ kẻ $MH ⊥ AB$ $(H ∈ AB)$

Khi đó, $AM^2=AH.AB=AH$ và $AM.MB=MH.AB=MH$

Từ đó suy ra: $𝒫=AH+MH$

Ta thấy để $𝒫$ lớn nhất thì $H$ thuộc đoạn $OB$

$𝒫=OA+OH+MH=\dfrac{1}{2}+OH+MH$

Ta có: $OH+MH \leq \sqrt{2(OH^2+MH^2)}=\sqrt{2OM^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$⇒ 𝒫 \leq \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi: $OH=MH$

$⇔ ΔOHM$ vuông cân tại $H$

$⇔ MH=OH=OM.\sin45^0=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$AH=AO+OH=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$

$⇒ x^2=AM^2=AH^2+MH^2=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$

$⇔ x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Vậy $P(Max)=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ khi $x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$