Cách 1: Vẽ $MH\perp AB$ tại $H$; $MK\perp AC$ tại $K$

`=>MH`//$AC$ (vì cùng $\perp AB$)

`=>\hat{BMH}=\hat{MCK}` (hai góc đồng vị)

`\qquad \hat{AMH}=\hat{MAK}` (hai góc so le trong)

$\\$

Xét $∆BMH$ và $∆MCK$ có:

`\qquad \hat{BHM}=\hat{MKC}=90°`

`\qquad BM=MC` (vì $M$ là trung điểm $BC$)

`\qquad \hat{BMH}=\hat{MCK}` (c/m trên)

`=>∆BMH=∆MCK` (ch-gn)

`=>MH=CK` (hai cạnh tương ứng) $(1)$

$\\$

Xét $∆AMH$ và $∆MAK$ có:

`\qquad \hat{AHM}=\hat{MKA}=90°`

`\qquad AM` là cạnh chung 

`\qquad \hat{AMH}=\hat{MAK}` (c/m trên)

`=>∆AMH=∆MAK` (ch-gn)

`=>MH=AK` (hai cạnh tương ứng) $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>AK=CK`

Xét $∆MAC$ có:

`\qquad `$MK\perp AC$

`\qquad AK=CK`

`=>` $MK$ vừa là đường cao và đường trung tuyến

`=>∆MAC` cân tại $M$

`=>AM=MC`

Mà `MC=1/2BC` (do $M$ là trung điểm $BC$)

`=>AM=1/2BC` (đpcm)

$\\$

Cách 2:

Trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ sao cho `\hat{NAC}=\hat{NCA}` $(3)$

`=>∆NAC` cân tại $N$

`=>AN=CN` (*)

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>\hat{BAC}=\hat{BAN}+\hat{NAC}=90°` $(4)$

`\qquad \hat{ABC}+\hat{BCA}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{ABN}+\hat{NCA}=90°` $(5)$

Từ `(3);(4);(5)=>\hat{BAN}=\hat{ABN}`

`=>∆NAB` cân tại $N$

`=>AN=BN` (**)

$\\$

Từ (*);(**)`=>AN=BN=CN` $(6)$

Vì `B;N;C` thẳng hàng và $BN=CN$

`=>N` là trung điểm $BC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$ (gt)

`=>N≡M` $(7)$

Từ `(6);(7)=>AM=BM=CM`

Mà `BM=1/2BC` (vì $M$ là trung điểm $BC$)

`=>AM=1/2BC` (đpcm)