Lời giải:

Kẻ $CH\perp AD\ (H\in AD)$

$\Rightarrow ABCH$ là hình chữ nhật

Lại có: $AB = BC\quad (gt)$

$\Rightarrow ABCH$ là hình vuông

$\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{ACM} = 45^\circ$

Mặt khác: $AB = BC = CH = HA$

$\Rightarrow AH = CH = HD = \dfrac12AD$

$\Rightarrow \triangle ACD$ vuông tại $C$

$\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{ACN} = 90^\circ$

Gọi $K$ là giao điểm $AC$ và $MN$

Xét $\triangle AMK$ và $\triangle NCK$ có:

$\begin{cases}\widehat{M} = \widehat{C} = 90^\circ\\\widehat{AKM} = \widehat{NKC}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó $\triangle AMK\backsim \triangle NCK\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AK}{NK} = \dfrac{MK}{CK}$

$\Rightarrow \dfrac{AK}{MK} = \dfrac{NK}{CK}$

Xét $\triangle AKN$ và $\triangle MKC$ có:

$\begin{cases}\dfrac{AK}{MK} = \dfrac{NK}{CK}\quad (cmt)\\\widehat{AKN} = \widehat{MKC}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó $\triangle AKN\backsim \triangle MKC\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{ANK} = \widehat{MCK} = \widehat{ACM} = 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ANM} = 45^\circ$

Xét $\triangle AMN$ vuông tại $M$ có:

$\widehat{ANM} = 45^\circ\quad (cmt)$

Do đó $\triangle AMN$ vuông cân tại $M$