Đáp án:

 `2\sqrt{2021}<=P<=\sqrt{12126}`.

Giải thích các bước giải:

`P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}`

Áp dụng bất đẳng thức bunhia copski ta có:

`(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^2<=3.(a+b+b+c+c+a)`

`<=>P^2<=3.2(a+b+c)=6.2021`

`<=>P^2<=12126`

`<=>P<=\sqrt{12126}.`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2021/3`

`P^2=a+b+b+c+c+a+2\sqrt{(a+b)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}+2\sqrt{(c+a)(a+b)}`

`<=>P^2=2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}+2\sqrt{(c+a)(a+b)}`

`<=>P^2=4042+2\sqrt{(a+b)(b+c)}+2\sqrt{(b+c)(c+a)}+2\sqrt{(c+a)(a+b)}`

Ta có:

`ab+bc>=2b\sqrt{ac}`

`<=>b^2+ab+bc+ac>=b^2+2b\sqrt{ac}+ac`

`<=>b(a+b)+c(a+b)>=(b+\sqrt{ac})^2`

`<=>(a+b)(b+c)>=(b+\sqrt{ac})^2`

`<=>2\sqrt{(a+b)(b+c)}>=2(b+\sqrt{ac})`

Tương tự ta có:

`2\sqrt{(b+c)(c+a)}>=2(c+\sqrt{ab})`

`2\sqrt{(c+a)(a+b)}>=2(a+\sqrt{bc})`

`=>P^2>=4042+2(a+b+c)+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})>=4042+2.(a+b+c)=8084`

`=>P>=\sqrt{8084}=2\sqrt{2021}`.

Dấu "=" xảy ra khi `(a,b,c)=(0,0,2021)` và các hoán vị.

 Giải thích các bước giải:

*Min:

$P=\sqrt[]{a+b}+\sqrt[]{b+c}+\sqrt[]{a+c}$ 

$⇔P^2=2(a+b+c)+2\sqrt[]{(a+b)(b+c)}+2\sqrt[]{(b+c)(a+c)}+2\sqrt[]{(a+b)(a+c)}$ 

$⇔P^2=2(a+b+c)+2\sqrt[]{a^2+ab+bc+ac}+2\sqrt[]{b^2+ab+bc+ac}+2\sqrt[]{c^2+ab+bc+ac}$

Vì $a,b,c≥0 ⇔ ab+bc+ac ≥0 ⇔ \sqrt[]{ab+bc+ac} ≥0$ 

$⇔P^2≥2(a+b+c)+2\sqrt[]{a^2}+2\sqrt[]{b^2}+2\sqrt[]{c^2}$

$⇔P^2≥4(a+b+c)=4.2021$

$⇔P≥2.\sqrt[]{2021}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $2.\sqrt[]{2021}$

Dấu bằng xảy ra khi: $(a,b,c)=(0,0,2021)$ và các hoán vị.

*Max:

Theo bất đẳng thức $Cauchy-schwarz$:

$⇒P^2≤3.[(\sqrt[]{a+b})^2 +(\sqrt[]{b+c})^2 +(\sqrt[]{a+c})^2]=3.2.(a+b+c)$

$⇔P^2≤12126$

$⇔P≤\sqrt[]{12126}$ 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\sqrt[]{12126}$ 

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=\frac{2021}{3}$