$\\$

Câu `a,` và `b,` dưới hình

$\\$

`c,`

Xét `ΔADK` và `ΔHDC` có :

`hat{ADK}=hat{HDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD=HD` (cmt)

`hat{KAD}=hat{CHD}=90^o` (gt)

`-> ΔADK = ΔHDC` (góc - cạnh - góc)

`-> AK=HC` (2 cạnh tương ứng)

Do `ΔABD = ΔHDB` (cmt)

`-> AB=HB` (2 cạnh tương ứng)

Có :` AB+AK=BK, HB+HC=BC`

mà `AB=HB` (cmt) và `AK=HC` (cmt)

`-> BK=BC`

`-> ΔBKC` cân tại `B`

Do `ΔABC` vuông tại `A` (gt)

`-> hat{B} + hat{ACB}=90^o` (2 góc phụ nhau)

`-> hat{B}=90^o - hat{ACB}=90^o-30^o`

`-> hat{B}=60^o`

mà `ΔBKC` cân tại `B`

`-> ΔBKC` đều

Có : `CA⊥BK` (gt)

`-> CA` là đường cao của `ΔBKC`

mà `ΔBKC` đều (cmt)

`-> CA` là đường trung tuyến của `ΔBKC`

Có : `KH⊥BC` (gt)

`-> KH` là đường cao của `ΔBKC`

mà `ΔBKC` đều (cmt)

`-> KH` là đường trung tuyến của `ΔBKC`

Xét `ΔBKC` có :

`CA` là đường trung tuyến (cmt)

`KH` là đường trung tuyến (cmt)

`CA` cắt `KH` tại `D`

`->D` là trọng tâm của `ΔBKC`

Đáp án:

 a, Xét ΔABD và ΔHBD có:

`hat{BAD} = hat{BHD} = 90^o` (Δ ABC vuông tại A, DH ⊥ BC)

`BD ` : cạnh chung

`hat{ABD} = hat{HBD} ` ( BD là tia phân giác góc B)

`⇒ ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`⇒ AD = HD` ( 2 cạnh tương ứng)

b, Xét ΔHDC có:

`HD < DC` ( Quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông)

Mà `AD = HD` ( c/m trên)

⇒` AD < DC` (đpcm)

c, ΔABC vuông tại A  có:

`hat{B}+ hat{C} = 90^o` (2 góc nhọn phụ nhau)

` hat{B} + 30^o = 90^o`

`hat{B}                           =  90^o - 30^o = 60^o`

 Mà BD là tia phân giác nên:

`hat{ABD} = hat{CBD} = hat{B}/2 = 30^o`

Mà `hat{DCB} = 30^o`

`⇒ ΔDBC` cân tại D

Mà DH là đường cao của ΔDBC

⇒ DH cũng là đường trung tuyến của ΔBKC

`⇒ HB = HC`

Xét ΔKBH và ΔKCH có:

`hat{KHB} = hat{KHC} = 90^o` ( KH ⊥ BC)

`HB = HC (c/m trên)`

`KH` : cạnh chung

`⇒ ΔKBH = Δ KCH` ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`⇒ hat{BKH} = hat{CKH}` (2 góc tương ứng) (1)

`⇒ KB = KC` (2 cạnh tương ứng)                        ⇒  $\begin{cases} ΔKBC đều \end{cases}$

`⇒ hat{KBH} = hat{KCH}` (2 góc tương ứng) 

`⇒ hat{BKC} = 60^o`

Từ (1) `⇒ hat{BKH} = 30^o`

Mà `hat{ABD} = 30^o`

`⇒ ΔKBD` cân tại D 

Mà AD là đường cao của ΔKBD

⇒ AD là đường trung tuyến của ΔKBD

`⇒ AB = AK`

ΔBKC có:

`text{ KH là đường trung tuyến ( HB = HC)}`

`text{ CA là đường trung tuyến ( AB = BK)}`

Mà Kh cắt AC tại D

⇒ D là trọng tâm của ΔBKC