Đáp án: Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 dạng thuần nhất và không thuần nhất

Giải thích các bước giải:

a. -2sin²x+6sinxcosx+2cos²x=3 (1)

TH1 : Cosx=0(Sinx=±1) 

Thay vào (1) : -2.(1)+6.sinx.0+2.0=3 ⇔-2=3 (vô lý) 

Vậy Cosx=0 không là No của phuơng trình 

TH2 : Với Cosx khác 0 ⇔ Cos²x khác 0, chia cả 2 vế phương trình cho Cos²x 

(1) ⇒-2tan²x+6tanx+2=3/(Cos²x) 

Do $\frac{1}{Cos²x}$= 1+tan²x

⇒-2tan²x+6tanx+2-3(1+tan²x)=0

⇔-2tan²x-3tan²x+6tanx+2-3=0

⇔-5tan²x+6tanx-1=0 (Vi-ét, a+b+c=(-5)+6+(-1)=0)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}tanx=1\\tanx=\end{array} \right.\) $\frac{1}{5}$

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=π/4+kπ\\x=arctan(1/5)+kπ\end{array} \right.\) 

(K∈Z) 

Vậy x=π/4+kπ hay x=arctan(1/5)+kπ

Bn có thể dùng công thức hạ bậc đưa phương trình về dạng aSinx+bCosx=c rồi giải nhưng đôi khi nghiệm sẽ rất lẻ 

b. 4Sin²x+6$\sqrt[]{3}$SinxCosx-2Cos²x=4 (2)

TH1 : Cosx=0 (2) ⇒4=4 ( Đúng ) 

Vậy Cosx=0 là một nghiệm của phương trình

Hay x=π\2+kπ là một nghiệm của phương trình 

TH2 : Với Cosx khác 0 ⇔ Cos²x khác 0, chia cả 2 vế phương trình cho Cos²x 

(2) ⇒4tan²x+6√(3)tanx -2-4/(Cos²x)=0

⇔4tan²x+6√(3)tanx-2-4(1+tan²x)=0

⇔6√(3)tanx=6

⇔tanx=$\frac{1}{√(3)}$ 

⇔x=π/6+kπ ; (k∈Z)

Vậy, pt đã cho có các họ nghiệm :

x=π/2+kπ hay x=π/6+kπ ; k∈Z

c. 6Sin²x+SinxCosx-Cos²x=2 (3)

TH1 : Cosx=0(Sinx=±1) 

Thay vào (3) : 6=2 ( Vô lý )

Vậy Cosx=0 không là No của phuơng trình 

TH2 : Với Cosx khác 0 ⇔ Cos²x khác 0, chia cả 2 vế phương trình cho Cos²x 

(3) ⇒6tan²x+tanx-1-2(1+tan²x)=0 

⇔4tan²x+tanx-3=0 (Vi-ét a-b+c=0)

⇔tanx=-1 Hay tanx=3/4

⇔x=-π/4+kπ Hay x=arctan(3/4)+kπ (k∈Z)

d. 2Cos²x+3Sin2x-8Sin²x=0 (4)

(4) ⇔8Sin²x-3.2SinxCosx-2Cos²x=0

TH1 : Cosx=0(Sinx=±1)

Thay vào (4) : 8=0 ( Vô lý ) 

Vậy Cosx=0 không là No của phuơng trình 

TH2 : Với Cosx khác 0 ⇔ Cos²x khác 0, chia cả 2 vế phương trình cho Cos²x 

(4) ⇒8tan²x-6tanx-2=0 (Vi-ét a+b+c=0)

⇔tanx=1 Hay tanx=-1/4

⇔x=π/4+kπ Hay x=arctan(-1/4)+kπ , (k∈Z)

*e. 2Sin³x-5Sin²xCos-SinxCos²x+4Cos³x=0 (5)

(Pt thuần nhất bậc 3, dạng nâng cao ít xuất hiện, ta làm tương tự dạng trên nhưng sẽ khác đôi chút) 

TH1 : Cosx=0 (Sinx=±1)

Thay vào (5) : Do Sinx=±1

2.(1)³=0⇔2=0 (vô lý) hoặc 2.(-1)³=0⇔-2=0 (vô lý) 

Vậy Cosx=0 không là No của phuơng trình 

TH2 : Với Cosx khác 0 ⇔ Cos³x khác 0, chia cả 2 vế phương trình cho Cos³x 

(5) ⇒2tan³x-5tan²x-tanx+4=0 

Đến đây dùng máy tính Giải pt bậc 3 

(Thường sẽ ra nghiệm đẹp tuy nhiên trường hợp này ra nghiệm vô tỷ rất xấu, khó đọc) 

Bằng cách nhẩm nghiệm hoặc dùng máy tính Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm bằng 1 

Vậy từ pt bậc 3, bằng lược đồ Hooc-ne ta có thể đưa về phương trình tích bậc 1 và bậc 2 có dạng (x-1)(ax²+bx+c)=0 

Cụ thể : 2tan³x-5tan²x-tanx+4=0 

⇔(tanx-1)(2tan²x-3tanx-4)=0

⇔tanx=1 (a) Hay 2tan²x-3tanx-4=0 (b)

Giải (a) ⇔x=π/4+kπ 

Giải (b) ⇔tanx=$\frac{3±\sqrt[]{41}}{4}$ 

⇔x=arctan($\frac{3±\sqrt[]{41}}{4}$)+kπ

Vậy pt đã cho có các họ nghiệm 

x=π/4+kπ Hay x=arctan($\frac{3±\sqrt[]{41}}{4}$)+kπ

*f. 2Sin³x+4Cos³x=3Sinx (6)

Làm tương tự ta được 

TH1 : Cox=0(Sinx=±1) 

Thay vào (6) : 2(-1)³=3.(-1) hay 2.1³=3.1 (vô lý)

Vậy Cosx=0 không là No của phuơng trình 

TH2 : Với Cosx khác 0 ⇔ Cos³x khác 0, chia cả 2 vế phương trình cho Cos³x 

(6) ⇒2tan³x+4=3.Sinx/Cos³x

Do Sinx/Cos³x=Sinx/(Cosx.Cos²x)=tanx/Cos²x

=tanx.(1+tan²x) 

⇒2tan³x+4=3.Sinx/Cos³x=3tanx.(1+tan²x) 

⇔2tan³x+4=3tanx+3tan³x

⇔tan³x+3tanx-4=0

⇔tanx=1⇔x=π/4+kπ

Vậy pt đã cho có họ nghiệm x=π/4+kπ; k∈Z

Mình Bấm máy có thể có sai sót :(, bn bấm lại cho chắc nha