Giải thích các bước giải:

Câu 4:

Giả sử $m$ là hợp số

$\to m=pq, (p,q\in N, p,q>1)$

$\to 2^m-1=2^{pq}-1=(2^p)^q-1=(2^p-1)((2^p)^{q-1}+(2^p)^{q-2}+...+1)$

Do $p>1\to 2^p-1>1$

     $(2^p)^{q-1}+(2^p)^{q-2}+...+1)>1$

$\to (2^p-1)((2^p)^{q-1}+(2^p)^{q-2}+...+1)$ là hợp số

$\to 2^m-1$ là hợp số (trái với giả thiết)

$\to$Giả sử sai

$\to m$ là số nguyên tố

Câu 5:

Ta có:

$2^{2^{10n+1}}=2^{2^{10n}\cdot 2}=(2^2)^{2^{10n}}=4^{2^{10n}}$

Vì $4\equiv -1(mod 5)$

Do $n\in N^*\to 10n$ chẵn

$\to 4^{2^{10n}}\equiv (-1)^{2^{10n}}\equiv 1(mod 5)$

$\to 2^{2^{10n+1}}\equiv 1(mod 5)$

$\to 2^{2^{10n+1}}+19\equiv 1+19\equiv 20\equiv 0(mod 5)$

$\to 2^{2^{10n+1}}+19\quad\vdots\quad 5$

Mà $ 2^{2^{10n+1}}+19>5$

$\to 2^{2^{10n+1}}+19$ là hợp số

Ta có:

$3^4=81\equiv 1(mod 10)$

$\to 3^{4n}\equiv 1(mod 10)$

$\to 3^{3n+1}\equiv 3\cdot 1\equiv 3(mod 10)$

$\to 3^{4n+1}=10k+3, k\in N^*$

Ta có $11$ là số nguyên tố và $(2,11)=1$

$\to$Theo định lý Fermat có:
$2^{10}\equiv 1(mod 11)$

$\to 2^{10k}\equiv 1(mod 11)$

$\to 2^{10k+3}\equiv 1\cdot 2^3\equiv 8(mod 11)$

$\to 2^{3^{4n+1}}=2^{10k+3}\equiv 8(mod 11)$

Tương tự ta có $5$ là số nguyên tố, $(2,5)=1$

$\to 2^4\equiv 1(mod 5)$

$\to 2^{4n}\equiv 1(mod 5)$

$\to 2^{4n+1}\equiv 2(mod 10)$

$\to 2^{4n+1}=10m+2, m\in N^*$

Do $11$ là số nguyên tố, $(3,11)=1\to$Theo định lý Fermat có: 

$3^{10}\equiv 1(mod 11)$

$\to 3^{10m}\equiv 1(Mod 11)$

$\to 3^{10m+2}\equiv 9(mod 11)$

$\to 3^{2^{4n+1}}\equiv 3^{10k+2}\equiv 9(mod 11)$

$\to 2^{3^{4n+1}}+3^{2^{4n+1}}+5\equiv 8+9+5\equiv 0(mod 11)$

$\to 2^{3^{4n+1}}+3^{2^{4n+1}}+5\quad\vdots\quad 11$

Mà $2^{3^{4n+1}}+3^{2^{4n+1}}+5>11$

$\to 2^{3^{4n+1}}+3^{2^{4n+1}}+5$ là hợp số

Câu 6:

a.Ta có:

$4^{20}-1\quad\vdots\quad 4-1$

$\to 4^{20}-1\quad\vdots\quad 3$

Mà $4^{20}-1>3$

$\to 4^{20}-1$ là hợp số

b.Ta có:

$1000001\quad\vdots\quad 101$

$\to 1000001$ là hợp số

c.Ta có:

$4\equiv -1(mod 5)$

$\to 4^{25}\equiv (-1)^{25}(mod 5)$

$\to 4^{25}\equiv -1(mod 5)$

$\to (2^2)^{25}\equiv -1(mod 5)$

$\to 2^{50}\equiv -1(mod 5)$

$\to 2^{50}+1\equiv 0(mod 5)$

$\to 2^{50}+1\quad\vdots\quad 5$

Mà $2^{50}+1>0$

$\to 2^{50}+1$ là hợp số