Giải thích các bước giải:

$a)\Delta ABC$ cân tại $A$, phân giác $AH$ đồng thời là trung tuyến, đường cao

$\Rightarrow H$ là trung điểm $BC, AH \perp BC$

$H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow HB=HC\\ b)BH=\dfrac{1}{2}BC=18(cm)$

$\Delta AHB$ vuông tại $H$

$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=24(cm)$

$c)$Trung tuyến $BM$ cắt trung tuyến $AH$ tại $G$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AH; BG=\dfrac{2}{3}BM\\ AG=\dfrac{2}{3}AH=16(cm)\\ GH=AH-AG=8(cm)$

$\Delta BGH$ vuông tại $H$

$\Rightarrow BG=\sqrt{GH^2+BH^2}=2\sqrt{97}(cm)\\ BM=\dfrac{3}{2}BG=3\sqrt{97}(cm)$

$d)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC, \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{H_1}=\widehat{ACB}(DH//AC)$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{H_1}$

$\Rightarrow \Delta BDH$ cân tại $D$

$\Rightarrow DB=DH(1)\\ DH//AC\\ \Rightarrow \widehat{H_2}=\widehat{A_2}$

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}(AH$ là phân giác)

$\Rightarrow \widehat{H_2}=\widehat{A_1}$

$\Rightarrow \Delta ADH$ cân tại $D$

$\Rightarrow DA=DH(2)\\ (1)(2) \Rightarrow DA=DB$

$\Rightarrow D$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow CD$ là trung tuyến $\Delta ABC$, đi qua trọng tâm $G$

$\Rightarrow C,D,G$ thẳng hàng.

Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔAHB` và  `ΔAHC` có :

`AH` chung

`hat{BAH}=hat{CAH}` (gt)

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAHB=ΔAHC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> HB=HC` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{AHB}=hat{AHC}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{AHB} + hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)

`-> hat{AHB}=hat{AHC}=180^o/2=90^o`

`-> AH⊥BC`

$\\$

`b,`

Có : `HB=HC` (cmt)

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> BH = 1/2 BC`

`-> BH = 1/2 . 36`

`-> BH = 18cm`

Áp dụng đính lí Pitago cho `ΔAHB` vuông tại `H` có :

`AH^2 + BH^2 = AB^2`

`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`

`-> AH^2 =30^2 - 18^2`

`-> AH^2=24^2`

`-> AH=24cm`

$\\$

`c,`

Có : `H` là trung điểm của `BC` (cmt)

`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`AH` là đường trung tuyến (cmt)

`BM` là đường trung tuyến (gt)

`AH` cắt `BM` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔABC`

`-> AG = 2/3 AH`

`-> AG = 2/3 . 24`

`-> AG=16cm`

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)

`-> HG = 1/3 AH = 1/3 . 24 = 8cm`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔBGH` vuông tại `H` có :

`HG^2 + BH^2 = BG^2`

`-> BG^2 = 8^2 + 18^2`

`-> BG^2 = 388`

`-> BG = 2 \sqrt{97}cm`

Do `G` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)

`-> BG = 2/3 BM`

`-> 2 \sqrt{97} = 2/3 BM`

`-> BM=3\sqrt{97}cm`

$\\$

`d,`

Do $HD//AC$ (gt)

`-> hat{DHB}=hat{C}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{B}=hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{DHB}=hat{B} (=hat{C})`

`-> ΔDHB` cân tại `D`

`-> BD =HD` `(1)`

Do `ΔAHB=ΔAHC` (cmt)

`-> hat{BAH}=hat{CAH}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{DAH}=hat{CAH}`

Do $HD//AC$ (gt)

`-> hat{DHA}=hat{CAH}` (2 góc so le trong)

mà `hat{DAH}=hat{CAH}` (cmt)

`-> hat{DHA}=hat{DAH} (=hat{CAH})`

`-> ΔADH` cân tại `D`

`-> AD=HD` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AD=BD (=HD)`

`-> D` là trung điểm của `AB`

`-> CD` là đường trung tuyến của `ΔABC`

mà `G` là trọng tâm của `ΔABC` (cmt)

`-> CD` đi qua `G`

`-> C,G,D` thẳng hàng