Bài 4:

Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là $x,\ y,\ z\ (x,\ y,\ z ∈ N^*$)

Theo đề bài ta có: $x+y+z=16$ và $2000x=5000y=10000z$

$\Rightarrow\dfrac{2000x}{10000}=\dfrac{5000y}{10000}=\dfrac{10000z}{10000}$ và $x+y+z=16$

$\Rightarrow\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{1}$ và $x+y+z=16$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{1}=\dfrac{x+y+z}{5+2+1}=\dfrac{16}{8}=2$ 

$\text{Với}\ \dfrac{x}{5}=2\ \Rightarrow x=10$ 

$\text{Với}\ \dfrac{y}{2}=2\ \Rightarrow y=4$ 

$\text{Với}\ \dfrac{c}{1}=2\ \Rightarrow c=2$ 

Vậy Lan có `10` tờ tiền 2000 đồng, `4` tờ tiền 5000 đồng và `2` tờ tiền 10000 đồng.

Bài 5:

\( \begin{array}{l}
\text{Ta có}:\ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}
\\\Rightarrow (ad-bc)(ac-bd)=0
\\\Rightarrow ac(ad-bc)-bd(ad-bc)=0
\\\Rightarrow ac(ad-bc)+bd(bc-ad)=0
\\\Rightarrow (a^2cd-abc^2)+(b^2cd-abd^2)=0
\\\Rightarrow a^2cd+b^2cd=abc^2+abd^2
\\\Rightarrow cd(a^2+b^2)=ab(c^2+d^2)
\\\Rightarrow \dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\ (\text{đpcm})
\end{array} \)