3. ΔABC vuông tại A nội tiếp (O) ⇒ BC là đường kính (O) ⇒ O là trung điểm của BC

Đường tròn tâm I đường kính MC ⇒ I là trung điểm của MC

Xét ΔBMC có:

O là trung điểm của BC (cmt)

I là trung điểm của MC (cmt)

⇒ OI là đường trung bình của ΔBMC ⇒ OI // BM ⇒ OE // BM 

Xét ΔABC có:

O là trung điểm của BC (cmt)

M là trung điểm của AC (gt)

⇒ OM là đường trung bình của ΔABC ⇒ OM // AB ⇒ OM // BE

Xét tứ giác BMOE có:

OE // BM (cmt)

OM // BE (cmt)

⇒ Tứ giác BMOE là hình bình hành

4. ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90^o$ Hay $\widehat{BAM}=90^o$

Xét (I), đường kính MC có:

+ $\widehat{MDC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ $\widehat{MNC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ MN ⊥ BC ⇒ $\widehat{MNB}=90^o$ 

Xét (O), đường kính BC có:

$\widehat{BDC}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ $\widehat{MDC}=\widehat{BDC}=90^o$ ⇒ B, M, D thẳng hàng

Xét tứ giác ABNM có: $\widehat{MNB}+\widehat{BAM}=90^o+90^o=180^o$ 

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn đường kính BM

⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{ANM}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AM}$)

Hay $\widehat{ABD}=\widehat{ANM}$

Xét (O) có: $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AD}$)

⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{ACD}$ Hay $\widehat{ANM}=\widehat{MCD}$

Xét (I) có: $\widehat{MND}=\widehat{MCD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{MD}$)

⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{MND}$

⇒ NM là phân giác $\widehat{AND}$