Giải thích các bước giải:

Câu 17:

a.Xét $\Delta ABE,\Delta HBE$ có:

$\widehat{ABE}=\widehat{EBH}$

Chung $BE$

$\widehat{EAB}=\widehat{EHB}(=90^o)$

$\to\Delta ABE=\Delta HBE$(cạnh huyền-góc nhọn)

b.Từ câu a $\to AB=BH, EA=EH$

$\to B,E\in$ trung trực của $AH$

$\to BE$ là trung trực của $AH$

Câu 18:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:
Chung $AH$
$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$AB=AC$

$\to\Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b.Từ câu a $\to\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$

$\to\widehat{HAM}=\widehat{HAN}$

Xét $\Delta AHM,\Delta AHN$ có:

$\widehat{HAM}=\widehat{HAN}$

Chung $AH$

$\widehat{AMH}=\widehat{ANH}(=90^o)$

$\to\Delta AMH=\Delta ANH$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AM=AN$

$\to\Delta AMN$ cân tại $A$

c.Ta có $\Delta AMN,\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to\widehat{AMN}=90^o-\dfrac12\hat A=\widehat{ABC}$

$\to MN//BC$

d.Ta có: $HM\perp AB, AH\perp BC, HN\perp AC$

$\to AH^2+BM^2=(AM^2+MH^2)+(BH^2-HM^2)=AM^2+HM^2+BH^2-HM^2=AM^2+BH^2=AN^2+BH^2$ vì $AM=NA$

Câu 19:

a.Ta có $\Delta AEF$ có $HM\perp AD\to AH\perp EF, AD$ là phân giác $\hat A\to AD$ là phân giác $\widehat{EAF}$

$\to\Delta AEF$ có đường cao đồng thời là phân giác

$\to\Delta AEF$ cân tại $A$

b.Ta có $BK//EF$

$\to\widehat{AKB}=\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{ABK}$ vì $\Delta AEF$ cân tại $A$

$\to\Delta ABK$ cân tại $A\to AB=AK$

Mà $\Delta AEF$ cân tại $A\to AE=AF$

$\to KF=AF-AK=AE-AB=BE$

c.Kẻ $BG//AC, G\in EF$

$\to\widehat{BGE}=\widehat{AFE}=\widehat{AEF}=\widehat{BEG}$

$\to\Delta BEG$ cân tại $B\to BE=BG$

Xét $\Delta MBG,\Delta MCF$ có:

$\widehat{MBG}=\widehat{MCF}$ vì $BG//CF$

$MB=MC$

$\widehat{BMG}=\widehat{FMC}$

$\to\Delta MBG=\Delta MCF(g.c.g)$

$\to BG=CF$

$\to CF=BE(=BG)$

$\to\dfrac{AB+AC}2=\dfrac{(AE-BE)+(AF+FC)}2=\dfrac{AE+AF+(CF-BE)}2=\dfrac{AE+AF+0}2=\dfrac{AE+AF}2=\dfrac{2AE}2=AE$

$\to đpcm$