Đáp án:

$ V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\triangle ABC$ cân tại $A$

$AD$ là trung tuyến

$\Rightarrow AD$ là đường cao

$\Rightarrow AD \perp BC$

mà $SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))$

nên $BC\perp (SAD)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(SAD))} = \widehat{BSD} = 45^\circ$

$\Rightarrow SB = \dfrac{BD}{\cos45^\circ} = BD\sqrt2$

Đặt $BD = x\quad (x >0)$

$\Rightarrow SB = x\sqrt2$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad AB^2 = AD^2 + BD^2$

$\Rightarrow AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{a^2 + x^2}$

Mặt khác:

$SA\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABC))} = \widehat{SBA} = 30^\circ$

$\Rightarrow SB = \dfrac{AB}{\cos30^\circ} = \dfrac{2\sqrt{a^2 + x^2}}{\sqrt3}$

Do đó:

$\quad x\sqrt2 = \dfrac{2\sqrt{a^2 + x^2}}{\sqrt3}$

$\Rightarrow 2x^2 = \dfrac{4(a^2 + x^2)}{3}$

$\Leftrightarrow x^2 = 2a^2$

$\Rightarrow x = a\sqrt2$

$\Rightarrow BD = a\sqrt2$

$\Rightarrow \begin{cases}AB = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt3\\BC = 2BD = 2a\sqrt2\end{cases}$

$\Rightarrow SA = AB.\tan30^\circ = a$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SA = \dfrac16AD.BC.SA$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac16\cdot a\cdot 2a\sqrt2\cdot a$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AD$ là trung tuyến nên cũng là đường cao 

Ta có $BD\bot AD, BD\bot SA$

$\to BD\bot (SAD)$

$\to (SB,(SAD))=(SB,SD)=\widehat{BSD}$

Đặt $SB=x$

$\to BD=SB\sin45^o=\dfrac{x}{\sqrt2}$

$\to AB=\sqrt{0,5x^2+a^2}$ (Pytago)

$(SB,(ABC))=(SB,AB)=\widehat{SBA}$

$\to \sqrt{0,5x^2+a^2}=x.\cos30^o$

$\to 0,5x^2+a^2=\dfrac{3x^2}{4}$

$\to x=2a$

$\to AB=AC=a\sqrt3; SA=AB\tan30^o=a$

Ta có: $AD^2=\dfrac{AB^2+AC^2}{2}-\dfrac{BC^2}{4}$

$\to BC=2a\sqrt2$

$\to S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AD.BC=a^2\sqrt2$

$\to V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}=\dfrac{a^3\sqrt2}{3}$