Đáp án:

 Ta có:

`P = |2013 - x| + |2014 - x| \ge |2013 - x + x - 2014| = 1`

`text{ Dấu "=" xảy ra khi:}`

`(2013 - x)(x - 2014) > 0`

Hay `2013 - x ` và `x - 2014 ` là 2 số cùng dấu

`text{ Trường hợp 1:}`

$\begin{cases} 2013 - x \ge 0 \\x - 2014 \ge 0\end{cases}$ ⇒$\begin{cases} x ≤ 2013\\x ≥ 2014 \end{cases}$

`⇒ 2014 \ge x \ge 2013` ( Vô lí)

`text{ Trường hợp 2:}`

$\begin{cases} 2013 - x ≤ 0\\x - 2014 ≤ 0 \end{cases}$ ⇒ $\begin{cases} x ≥ 2013 \\ x ≤ 2014 \end{cases}$

`⇒ 2013 ≤ x ≤ 2014`

Vậy `P_{min} = 1` tại ` 2013 ≤ x ≤ 2014`

Đáp án:

$\\$

Trước hết ta chứng minh BĐT `|a|  + |b| ≥ |a+b|`

Bình phương 2 vế ta được :

`-> (|a| +|b|)^2 ≥ (|a+b|)^2`

`-> |a|^2 + 2 |a| |b| + |b|^2 ≥ (a+b)^2`

`-> a^2 + 2 |a| |b| + b^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2`

Cả 2 vế đều có `a^2 + b^2` nên sẽ triệt tiêu cho nhau

`-> 2 |a| |b| ≥ 2ab`

`-> |ab| ≥ ab` (Luôn đúng)

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ ab ≥0`

$\\$

`P = |2013 -x| + |2014 -x|`

`-> P = |2013 - x| + |x-2014|`

Áp dụng BĐT vừa chứng minh trên `|a| + |b| ≥ |a+b|`

`-> |2013 - x| + |x-2014| ≥ |2013 - x +x - 2014| = |-1| = 1`

`-> P ≥ 1∀x`

`-> min P=1`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`↔ (2013-x) (x-2014) ≥ 0`

$\bullet$ TH1 :

`-> 2013 - x ≥ 0, x - 2014 ≥ 0`

`-> x ≤ 2013, x ≥ 2014`

`-> 2014 ≥ x ≥ 2013` (Vô lí)

$\bullet$ TH2 :

`-> 2013 - x ≤0, x-2014 ≤0`

`-> x ≥ 2013, x≤2014`

`-> 2013 ≤ x ≤ 2014` (Luôn đúng)

Vậy `min P = 1 ↔ 2013 ≤x≤2014`