~ ( Chúc bạn học tốt ^^  ) ~

Hơi khó nhìn nên bạn cố gắng nhé, có gì ko hiểu cứ hỏi mình ^^

p/g : phân giác

dhnb : dấu hiệu nhận biết

đn : định nghĩa

t/c : tính chất

+) Ta có: Δ ABC vuông tại A ( gt ) => AB ⊥ AC => ∠BAC = 90$^{o}$ 

+) Có:

ED ⊥ AB ( E là hình chiếu của D trên AB )   | 

AC ⊥ AB ( cmt )                                                |

⇒ ED // AC

⇒ ∠D1 = ∠A1 ( so le trong )                           | 

+) Có: AD là p/g của ∠BAC ( gt )                    | 

⇒ ∠A1 = ∠A2 = 90$^{o}$ : 2 = 45$^{o}$                         |

⇒ ∠D1 = ∠A2 = 45$^{o}$ ( = ∠A1 )                                   |

+) Xét Δ EDA có: ∠AED = 90$^{o}$ ( ED ⊥ AB )               |

⇒ Δ EAD vuông cân tại E ( dhnb )

⇒ ED = EA ( 2 cạnh bên )    ( 1 )

+) Xét tứ giác EAFD có: 

∠EAF = 90$^{o}$ ( cmt )                                                    |

∠AED = 90$^{o}$ ( ED ⊥ AB )                                            |

∠AFD = 90$^{o}$  ( F là hình chiếu cuả D trên AC )      |

⇒ Tứ giác EAFD là hình chữ nhật ( đn )   ( 2 )

+) Từ ( 1 ) và ( 2 ) => Tứ giác EAFD là hình vuông ( dhnb )  

+) Xét Δ ABC có: ∠BAC = 90$^{o}$ 

 AB ² + AC ² = BC ² ( ĐL py - ta - go )   

+) Xét Δ ABC có: AD là p/g của ∠BAC ( gt )

⇒ $\frac{BA}{BD}$ = $\frac{CA}{CD}$ ( t/c đường p/g trong Δ )

⇒ ($\frac{AB }{3}$ ) $^{2}$ = ( $\frac{AC}{4}$ ) $^{2}$

⇒ $\frac{AB ^{2} }{9}$ = $\frac{AC ^{2} }{16}$ 

+) Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{AB ^{2} }{9}$ = $\frac{AC ^{2} }{16}$ = $\frac{AB ^{2} + AC^{2} }{9 + 16}$ = $\frac{BC^{2}}{25}$ = $\frac{( 3 + 4 )^{2}}{25}$ = $\frac{49}{25}$

⇒ $\frac{AB}{3}$ = $\frac{AC}{4}$ = $√\frac{49}{25}$ = $\frac{7}{5}$

⇒ AB = 4,2

+) Có ED // AC ( cmt ) => ∠D2 = ∠C ( đồng vị )

⇒ Sin∠D2 = Sin∠C                                                | 

+) Xét Δ BDE có: ∠DEB = 90$^{o}$ ( DE ⊥ AB )          |

  ⇒ Sin∠D2 = $\frac{BE}{BD}$ ( tỉ số lượng giác )                |

+) Xét Δ ABC có: ∠BAC = 90$^{o}$ ( cmt )                 |

⇒ Sin∠C = $\frac{AB}{BC}$  ( tỉ số lượng giác )                   |

⇒ $\frac{BE}{BD}$ = $\frac{BA}{BC}$

⇒ $\frac{BE}{3}$ = $\frac{4,2}{3 + 4}$

⇒ BE = 1,8

+) Ta có: AB = AE + BE 

⇒ 4,2 = AE + 1,8

⇒ AE = 2,4

+) S ADEF = AE ² = ( 2,4 ) ² = 5,76 ( đơn vị diện tích )