Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\hat A=\hat D=90^o \to AB//CD$

$\to AB//CM$

Mà $AB=\dfrac12CD=CM$

$\to ABCM$ là hình bình hành

$\to AC\cap BM$ tại trung điểm mỗi đường

$\to E$ là trung điểm $AC, BM$

$\to đpcm$
b.Ta có $AB//CD, AB=\dfrac12CD$
$\to AB//DM, AB=DM$

$\to ABMD$ là hình bình hành

Mà $\hat A=90^o\to ABMD$ là hình chữ nhật

Lại có $AB=AD\to ABMD$ là hình vuông

c.Ta có $ABMD$ là hình vuông $\to AM\perp BD$

$\to AH\perp DF$

Mà $DI\perp AF, H\in DI$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ADE$

$\to FH\perp AD$

$\to FH//CD$ vì $AD\perp CD$

d.Ta có $E$ là trung điểm $BM\to EB=EM$

Vì $ABMD$ là hình vuông

$\to BM//AD$

$\to \dfrac{FE}{FA}=\dfrac{BE}{AD}=\dfrac{EM}{AD}=\dfrac{EK}{KD}$

$\to FK//AD$

Mà $FH\perp AD\to FH\perp FK$

Ta có $FK//AD\to \widehat{FKO}=\widehat{OAD}=45^o$

$\to \Delta FHK$ vuông cân tại $O$

Do $BD\perp AM\to FO\perp HK$

$\to O$ là trung điểm $HK$

$\to OH=OK$