Đáp án:

a) $V_{S.ABO} = V_{S.MAC} = \dfrac{12a^3\sqrt{39}}{3}$

b) $R = \dfrac{a\sqrt{1249}}{8}$

Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

$\begin{cases}SA = SC\\OA = OC = \dfrac12AC\end{cases}$

$\Rightarrow SO$ là trung trực $AC$

$\Rightarrow SO\perp AC$

$\begin{cases}SB = SC\\OB = OD = \dfrac12BD\end{cases}$

$\Rightarrow SO$ là trung trực $BD$

$\Rightarrow SO\perp BD$

Do đó: $SO\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA = SB = SC = SD = 8a$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$+)\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{100a^2 - 36a^2}$

$\Rightarrow BC = 8a$

$+)\quad SA^2 = SO^2 + OA^2$

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{64a^2 - 25a^2}$

$\Rightarrow SO = a\sqrt{39}$

Khi đó:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13AB.BC.SO$

$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac13\cdot 6a\cdot 8a\cdot a\sqrt{39}$

$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{48a^3\sqrt{39}}{3}$

Ta lại có:

$S_{ABO} = \dfrac14S_{ABCD}$

$\Rightarrow V_{S.ABO} = \dfrac14V_{S.ABCD}$

$\Rightarrow V_{S.ABO} = \dfrac{12a^3\sqrt{39}}{3}$

Mặt khác:

$S_{ACD} = \dfrac12S_{ABCD}$

$MS = MD = \dfrac12SD$

$\Rightarrow V_{S.MAC} = \dfrac14V_{S.ABCD}$

$\Rightarrow V_{S.MAC} = \dfrac{12a^3\sqrt{39}}{3}$

b) Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABO$

Ta có:

$S_{ABO} = \dfrac{OA.OB.AB}{4r}$

$\Leftrightarrow r = \dfrac{OA.OB.AB}{4S_{ABO}} = \dfrac{OA.OB.OC}{S_{ABCD}}$

$\Leftrightarrow r = \dfrac{5a.5a.6a}{6a.8a}$

$\Leftrightarrow r = HO = HB = HC = \dfrac{25a}{8}$

Từ $H$ kẻ đường thẳng $d\perp (ABO)$

$\Rightarrow d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABO$

Gọi $K$ là trung điểm $SO$

Từ $K$ kẻ đường trung trực của $SO$ cắt $d$ tại $I$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABO$

Ta được:

$HIKO$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \begin{cases}HI = OK = \dfrac12SO = \dfrac{a\sqrt{39}}{2}\\KI = HO = \dfrac{25a}{8}\end{cases}$

Khi đó:

$R = IO = HK = \sqrt{OK^2 + HO^2} = \sqrt{\dfrac{39a^2}{4} + \dfrac{625a^2}{64}}$

$\Leftrightarrow R = \dfrac{a\sqrt{1249}}{8}$