Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^o$

$\to BCNM$ là nội tiếp 

Kẻ $At$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{tAB}=\widehat{ACB}=\widehat{NCB}=\widehat{AMN}$

$\to At//MN$

Mà $At\perp OA$

$\to OA\perp MN$

b.Xét $\Delta ANB,\Delta AMC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ANB}=\widehat{AMC}(=90^o)$

$\to\Delta ANB\sim\Delta AMC(g.g)$

$\to\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AN.AC=AM.AB$

c.Áp dụng định lý sin cho $\Delta ABC$

$\dfrac{BC}{\sin A}=2R$

$\to BC=2R\sin A=R\sqrt3$

Ta có: $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=120^o$

$\to $Độ dài cung $BC$ bằng $\dfrac{120^o}{360^o}\cdot 2\pi R=\dfrac23\pi R$

d.Xét $\Delta AMN,\Delta ABC$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$

$\to\Delta AMN\sim\Delta ACB(g.g)$

$\to\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}=\cos\widehat{MAC}=\cos60^o=\dfrac12$

$\to MN=\dfrac12BC$

$\to MN=\dfrac12\cdot R\sqrt3$

Mà $OA\perp MN$

$\to S_{ONAM}=\dfrac12AO\cdot MN=\dfrac12R\cdot \dfrac12\cdot R\sqrt3$
$\to S_{ONAM}=\dfrac{R^2\sqrt3}4$