a) Xét Δ ABC có: 

+, M là trđ của AB 

+, N là trđ của AC 

⇒ MN là đường trung bình của Δ ABC 

⇒ MN // BC (dpcm) 

Từ đó cho biết tứ giác MNCB là hình thang. 

b) Có đường thẳng đi qua C cắt MN tại E và // AB (*)

⇒ CE // AB (*)

⇒ CE // AM

⇒ ∠ ECN = ∠ MAN

Xét Δ AMN và Δ CEN: 

+, ∠ ECN = ∠ MAN (cmt)

+, AN = NC (N là trđ của AC)

+, ∠ ANM = ∠ CNE (đđ)

⇒ Δ AMN = Δ CEN (g.c.g)

⇒ AM = AN (2 góc t/ứ)

MÀ AM // AN

⇒ Tứ giác AMCE là hình bình hành.

(*) có nghĩa là không nhất thiết phải ghi.

c) Gọi giao điểm của BE và MC là K

Có CE // AB

⇒ CE // BM 

⇒ ∠ BMC = ∠ ECM hay ∠ BMK = ∠ ECK

    ∠ MBE = ∠ CEB hay ∠ MBK = ∠ CEK

Có CE = AM (cmt)

Mà AM = BM (M là trđ của AB)

⇒ CE = BM

Xét Δ BMK và Δ ECK có:

+, ∠ BMK = ∠ ECK (cmt)

+, CE = BM (cmt)

+, ∠ MBK = ∠ CEK (cmt)

⇒ Δ BMK = Δ ECK (g.c.g)

⇒ MK = CK (2 cạnh tương ứng)

⇒ K là trđ của MC

Xét Δ MCE có:

N là trđ của ME (Δ AMN = Δ CEN) ⇒ CN là đường trung tuyến của Δ MCE

K là trđ của MC (cmt) ⇒ CK là đường trung tuyến của Δ MCE

Mà H là gđ của hai đường trung tuyến trên

⇒ H là trọng tâm của Δ MCE

⇒ HC = 2/3 NC

Mà NC = 1/2 AC

⇒ HC = 1/3 AC

Có AH = AC - HC

 ⇒ AH = AC - 1/3 HC

 ⇒ AH = 2/3 AC

mà HC = 1/3 AC

⇒ AH = 2HC (dpcm)