a, Xét (O) có: M là điểm chính giữa cung $\overparen{AB}$

⇒ MO ⊥ AB ⇒ $\widehat{MOA}=\widehat{MOB}=90°$

Hay $\widehat{DOA}=\widehat{COB}=\widehat{DOB}=\widehat{COA}=90°$

Xét (O), đường kính AB có: P ∈ (O)

⇒ $\widehat{APB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AP ⊥ DB ⇒ $\widehat{APD}=90°$ Hay $\widehat{CPD}=90°$

Xét tứ giác AOPD có:  $\widehat{APD}=\widehat{AOD}=90°$

Tứ giác có hai đỉnh P và O cùng nhìn AD dưới hai góc vuông

⇒ Tứ giác AOPD nội tiếp đường tròn đường kính AD

b, Tứ giác AOPD nội tiếp đường tròn đường kính AD (cmt)

⇒ $\widehat{PAO}=\widehat{PDO}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{PO}$)

Hay $\widehat{CAO}=\widehat{BDO}$

Xét ΔAOC và ΔDOB có: 

$\widehat{COA}=\widehat{DOB}=90°$ (cmt)

$\widehat{CAO}=\widehat{BDO}$ (cmt)

⇒ ΔAOC ~ ΔDOB (g.g)

⇒ $\frac{OC}{AC}=\frac{OB}{BD}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ OC.BD=OB.AC

c, Gọi tiếp tuyến từ P là Px

Có $\widehat{DPI}=\widehat{BPx}$ (hai góc đối đỉnh)

Xét (O) có:

$\widehat{PAB}=\widehat{BPx}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $\overparen{BP}$)

⇒ $\widehat{DPI}=\widehat{PAB}$ Hay $\widehat{DPI}=\widehat{PAO}$

Mà $\widehat{PAO}=\widehat{PDO}$ (cmt)

⇒ $\widehat{DPI}=\widehat{PDO}$ Hay $\widehat{DPI}=\widehat{PDC}$ 

Xét ΔPCD vuông tại P ($\widehat{CPD}=90°$) có:

$\widehat{PCD}+\widehat{PDC}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Có $\widehat{DPI}+\widehat{IPC}=\widehat{CPD}=90°$

Mà $\widehat{DPI}=\widehat{PDC}$ (cmt)

⇒ $\widehat{IPC}=\widehat{PCD}$ Hay $\widehat{IPC}=\widehat{PCI}$

Xét ΔIPC có: $\widehat{IPC}=\widehat{PCI}$ (cmt)

⇒ΔIPC cân tại I