a, Xét (O) có:

+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ AB ⇒ $\widehat{ABO}=90°$

+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ OC ⊥ AC ⇒ $\widehat{ACO}=90°$

Xét (O) có: MN là dây không đi qua tâm, I là trung điểm của MN

⇒ OI ⊥ MN ⇒ $\widehat{MIO}=90°$ Hay $\widehat{AIO}=90°$

Xét tứ giác AIOC có: $\widehat{ACO}+\widehat{AIO}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AIOC nội tiếp đường tròn đường kính AO

b, Xét (O) có:

AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

B, C là hai tiếp điểm

⇒ AB = AC, AO là phân giác $\widehat{BAC}$

Xét ΔABC có: AB = AC (cmt)

⇒ ΔABC cân tại A

Mà AO là phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)

⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ AO ⊥ BC tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABO vuông tại B ($\widehat{ABO}=90°$) , BH⊥AO (cmt) có: AB² = AH.AO

Xét (O) có: $\widehat{ABM}=\widehat{BNM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{BM}$)

Hay $\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$

Xét ΔABM và ΔANB có:

$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ (cmt)

$\widehat{BAN}$: góc chung

⇒ ΔABM ~ ΔANB (g.g)

⇒ $\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AB² = AM.AN

Mà AB² = AH.AO (cmt)

⇒ AH.AO = AM.AN

⇒ $\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}$

Xét ΔAHM và ΔANO có:

$\frac{AH}{AN}=\frac{AM}{AO}$ (cmt)

$\widehat{NAO}$: góc chung

⇒ ΔAHM ~ ΔANO (c.g.c)

⇒ $\widehat{AHM}=\widehat{ANO}$ (các góc tương ứng)

Hay $\widehat{AHM}=\widehat{MNO}$

Có $\widehat{AHM}+\widehat{MHO}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{MNO}+\widehat{MHO}=180°$

Xét tứ giác MNOH có: $\widehat{MNO}+\widehat{MHO}=180°$ (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp

c, Gọi giao điểm của BC và AN là G

Áp dụng định lý Talet trong ΔABN có EM // BN (gt)

⇒ $\frac{EM}{BN}=\frac{AM}{AN}$ 

Áp dụng định lý Talet trong ΔMFG có FM // BN (gt)

⇒ $\frac{FM}{BN}=\frac{MG}{GN}$ 

Tứ giác MNOH nội tiếp (cmt)

⇒ $\widehat{OMN}=\widehat{OHN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{ON}$)

Xét (O) có: OM = ON = R

⇒ ΔOMN cân tại O

⇒ $\widehat{OMN}=\widehat{ONM}$

Mà $\widehat{OMN}=\widehat{OHN}$ (cmt)

⇒ $\widehat{ONM}=\widehat{OHN}$ 

Mà $\widehat{AHM}=\widehat{MNO}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AHM}=\widehat{OHN}$

BH ⊥ AO (cmt) ⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{OHB}=90°$

Có $\widehat{AHM}+\widehat{MHB}=\widehat{AHB}=90°$

$\widehat{OHN}+\widehat{NHB}=\widehat{OHB}=90°$

Mà $\widehat{AHM}=\widehat{OHN}$ (cmt)

⇒ $\widehat{MHB}=\widehat{NHB}$

⇒ HB là phân giác $\widehat{MHN}$

Hay HG là phân giác $\widehat{MHN}$

⇒ $\frac{MG}{NG}=\frac{HM}{HN}$

Có HG ⊥ HA (BC ⊥ AO tại H)

⇒ HA là phân giác ngoài $\widehat{MHN}$

⇒ $\frac{AM}{AN}=\frac{HM}{HN}$

Mà $\frac{MG}{NG}=\frac{HM}{HN}$ (cmt)

⇒ $\frac{MG}{NG}=\frac{AM}{AN}$

Mà$\frac{EM}{BN}=\frac{AM}{AN}$ (cmt)

$\frac{FM}{BN}=\frac{MG}{GN}$ (cmt)

⇒ $\frac{EM}{BN}=\frac{FM}{BN}$

⇒ ME = FM ⇒ M là trung điểm của EF