`a)`

Xét tứ giác `ABEC` có:

    `AO=EO(g``t)`

    `BO=CO(g``t)`

`⇒` tứ giác `ABEC` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành `)(1)`

Ta có:`AB=AC(g``t)`

`⇒ΔABC` cân tại `A`

Mà `Δ` cân `ABC` có `AO` là đường trung tuyến

`⇒AO` đồng thời là đường cao của `ΔABC`

`⇒AO⊥BC`

Hay `AE⊥BC(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒ABEC` là hình thoi `(` hình bình hành có `2` đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi `)(đpcm)`

`b)`

Vì `ABEC` là hình thoi

`⇒hat{E_1}=hat{A_1}(`tính chất hình thoi`)`

Vì `ABCD` là hình bình hành 

`text{⇒AD//BC(tính chất hình bình hành)}`

Mà `AE⊥BC(cmt)`

`⇒AD⊥AE`

Xét `2Δ` vuông `EAD` và `AEF` có:

           `hat{E_1}=hat{A_1}(cmt)`

               `AE:chung`

`text{⇒ΔEAD=ΔAEF(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)}`

`text{⇒AD=EF(2 cạnh tương ứng)}`

Ta có:`AD⊥AE(cmt)`

         `EF⊥AE(g``t)`

`text{⇒AD//EF( từ ⊥ đến //)}`

Xét tứ giác `ADFE` có:

      `text{AD//EF(cmt)`

      `AD=EF(cmt)`

`⇒` tứ giác `ADFE` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối diện song song và bằng nhau là hình bình hành `)`

Mà `AE⊥EF(g``t)`

`⇒ADFE` là hình chữ nhật `(` hình bình hành có `1` góc vuông là hình chữ nhật `)(đpcm)`

`c)`

Vì `ABEC` là hình thoi

`⇒hat{CAG}=hat{CEH}(` tính chất hình thoi `)`

    `AC=EC(` tính chất hình thoi `)`

Xét `2Δ` vuông `AGC` và `EHC` có:

        `hat{CAG}=hat{CEH}(cmt)`

             `AC=EC(cmt)`

`⇒ΔAGC=ΔEHC(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒CG=CH(2` cạnh tương ứng `)`

Xét `2Δ` vuông `CGB` và `CHB` có:

             `CG=CH(cmt)`

             `CB:chung`

`⇒ΔCGB=ΔCHB(` cạnh huyền-cạnh góc vuông `)`

`⇒hat{C_1}=hat{C_2}(2` góc tương ứng `)`

`⇒CB` là đường phân giác của `ΔCGH` 

Ta có:`CG=CH(cmt)`

`⇒ΔCGH` cân tại `C`

Mà `Δ` cân `CGH` có `CB` là đường phân giác

`⇒CB` đồng thời là đường cao của `ΔCGH`

`⇒CB⊥GH`

Mà `BC⊥AE(cmt)`

`text{⇒GH//AE( từ ⊥ đến //)}(đpcm)`