Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔAMN` vuông tại `A` có :

`AM^2 + AN^2 = MN^2` (Pitago)

`-> AN^2 = MN^2  - AM^2`

`-> AN^2 = 37^2 - 12^2`

`-> AN^2 =35^2`

`-> AN=35cm`

Xét `ΔAMN` có :

`AM=12cm, AN=35cm, MN=37cm`

`-> AM <AN<MN` (Do `12cm < 35cm < 37cm`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`hat{N} < hat{M} < hat{A}`

$\\$

`b,`

Xét `ΔABI` và `ΔNBI` có :

`AI=NI` (Do `I` là trung điểm của `AN`)

`BI` chung

`hat{AIB}=hat{NIB}=90^o` (gt)

`-> ΔABI = ΔNBI` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`c,`

Do `ΔABI = ΔNBI` (cmt)

`-> AB = BN` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{ABI}=hat{NBI}` (2 góc tương ứng)

Có : `AM⊥AN, BI ⊥AN` (gt)

$→ AM//BI$

`-> hat{M}=hat{NBI}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{ABI}=hat{NBI}` (cmt)

`-> hat{M}=hat{ABI} (= hat{NBI})`

Do $AM//BI$ (cmt)

`-> hat{BAM}=hat{ABI}` (2 góc so le trong)

mà `hat{M}=hat{ABI}` (cmt)

`-> hat{BAM}=hat{M} (= hat{ABI})`

`-> ΔAMB` cân tại `B`

`-> BM = AB`

mà `BN=AB` (cmt)

`-> BM =BN(=AB)`

`-> B` là trung điểm của `MN` 

Có : `BA=BC` (gt)

`-> B` là trung điểm của `AC`

`-> NB` là đường trung tuyến của `ΔANC`

Có : `I` là trung điểm của `AN` (gt)

`-> CI` là đường trung tuyến của `ΔANC`

Xét `ΔANC` có :

`NB` là đường trung tuyến

`CI` là đường trung tuyến

`NB` cắt `CI` tại `D`

`-> D` là trọng tâm của `ΔANC`

`-> ND = 2/3 BN`

mà `BN=1/2 MN` (Do `B` là trung điểm của `MN`)

`-> ND = 2/3 . 1/2 BN`

`-> ND = 1/3 BN`

`->BN=3ND`