`a)`

Xét `ΔAHC` và `ΔBAC` có:

      `hat{AHC}=hat{BAC}=90^o`

          `hat{C}:chung`

`⇒ΔAHC`$\backsim$`ΔBAC(g.g)(đpcm)`

`b)`

Áp dụng định lý Ta-lét vào `Δ` vuông `ABC` ta có:

                `BC²=AB²+AC²`

                `BC²=6²+8²`

                `BC²=36+64`

                `BC²=100`

                `BC=`$\sqrt[]{100}$ 

                `BC=10(cm)`

Theo câu `a)ΔAHC`$\backsim$`ΔBAC(g.g)`

`⇒(AH)/(BA)=(AC)/(BC)`

`⇒(AH)/6=8/10`

`⇒AH=(6.8)/10`

`⇒AH=48/10`

`⇒AH=4,8(cm)`

Vậy `BC=10cm` và `AH=4,8cm`

`c)`

Gọi `O` là giao điểm của `AH` và `EF`

Xét tứ giác `AEHF` có:

`hat{HEA}=hat{EAF}=hat{AFH}=90^o`

`⇒` tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật `(` tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật `)`

`⇒OA=OF(` tính chất hình chữ nhật `)`

`⇒ΔOAF` cân tại `O`

`⇒hat{A_1}=hat{F_1}(` tính chất `Δ` cân `)`

Mà `hat{A_1}+hat{C}=90^o(2` góc phụ nhau `)`

       `hat{F_1}+hat{E_1}=90^o(2` góc phụ nhau `)`

`⇒hat{E_1}=hat{C}`

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:

        `hat{E_1}=hat{C}(cmt)`

         `hat{A}:chung`

`⇒ΔAEF`$\backsim$`ΔACB(g.g)`

`⇒(AE)/(AC)=(AF)/(AB)`

`⇒AE.AB=AF.AC(đpcm)`

`d)`

Vì tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật

`⇒EF=AH(` tính chất hình chữ nhật `)`

Theo câu `c)ΔAEF`$\backsim$`ΔACB(g.g)`

`⇒(S_(AEF))/(S_(ACB))=((EF)/(BC))^2=((AH)/(BC))^2=((4,8)/10)^2=144/625=0,2304`