1)

Gọi ước chung lớn nhất của hai số là a

⇒ n + 6 chia hết cho a

⇒ n + 7 chia hết cho a

⇒ 1 chia hết a 

⇒ 1 = a

Vậy hai số trên là hai số nguyên tố cùng nhau

2)

Gọi ước chung lớn nhất của hai số là a

⇒ 2n + 5 chia hết a

⇒ 6n + 15 chia hêt a (1)

⇒ 3n + 7 chia hết cho a

⇒ 6n + 14 chia hết a (2)

Từ (1) và (2)⇒ 1 chia hết a 

⇒ 1 = a

Vậy hai số trên là hai số nguyên tố cùng nhau

3)

Gọi ước chung lớn nhất của hai số là a

⇒ 2n + 5 chia hết a

⇒ 6n + 15 chia hêt a (1)

⇒ 3n + 7 chia hết cho a

⇒ 6n + 14 chia hết a (2)

Từ (1) và (2)⇒ 1 chia hết a 

⇒ 1 = a

Vậy hai số trên là hai số nguyên tố cùng nhau

4)

Gọi ước chung lớn nhất của hai số là a

⇒ 5n + 12 chia hết a

⇒ 15n + 36 chia hêt a (1)

⇒ 3n + 7 chia hết cho a

⇒15n + 35 chia hết a (2)

Từ (1) và (2)⇒ 1 chia hết a 

⇒ 1 = a

Vậy hai số trên là hai số nguyên tố cùng nhau

`1 )` Gọi `ƯCLN( n + 6 ; n + 7 ) = d ( d ∈ Z ; d \ne 0 )`

Ta có `: n + 6 vdots d`

           `n + 7 vdots d`

`⇒ ( n + 7 ) - ( n + 6 ) vdots d`

`⇔ 1 vdots d`

`⇔ d ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`

Mà `d` phải lớn nhất

`⇒ d = 1`

Vì `d = 1` nên `n + 6` và `n + 7` là số nguyên tố cùng nhau `(` Điều phải chứng minh `)`

`2 + 3 )` Gọi `ƯCLN( 2n + 5 ; 3n + 7 ) = d ( d ∈ Z , d \ne 0 )`

Ta có : 2n + 5 vdots d`

          `3n + 7 vdots d`

`⇔ 3 . ( 2n + 5 ) vdots d`

     `2 . ( 3n + 7 ) vdots d`

`⇔ 6n + 15 vdots d`

     `6n + 14 vdots d`

`⇔ ( 6n + 15 ) - ( 6n + 14 ) vdots d`

`⇔ 1 vdots d`

`⇔ d ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`

Mà `d` phải lớn nhất

`⇒ d = 1`

Vì `d = 1` nên `( 2n + 5 )` và `( 3n + 7 )` là số nguyên tố cùng nhau `(` Điều phải chứng minh `)`

`4 )` Gọi `ƯCLN( 5n + 12 ; 3n + 7 ) = d ( d ∈ Z ; d \ne 0 )`

Ta có `: 5n + 12 vdots d`

           `3n + 7 vdots d`

`⇔ 3 . ( 5n + 12 ) vdots d`

     `5 . ( 3n + 7 ) vdots d`

`⇔ 15n + 36 vdots d`

      `15n + 35 vdots d`

`⇔ ( 15n + 36 ) - ( 15n + 35 ) vdots d`

`⇔ 1 vdots d`

`⇔ d ∈ Ư( 1 ) = { 1 ; - 1 }`

Mà `d` phải lớn nhất

`⇒ d = 1`

Vì `d = 1` nên `5n + 12` và `3n + 7` là số nguyên tố cùng nhau `(` Điều phải chứng minh `)`