Đáp án:

a)Vì trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến nên suy ra  $AH$ là đường đường trung tuyến $⇒ HB=HC$

Xét $\triangle ABC$ có 

$HB=HC$

$HK \parallel AB$

$\Rightarrow HK $ là đường trung bình 

$\Rightarrow AK=KC $

$\Rightarrow AK = KC = HK $ (Do tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông )

$\Rightarrow \triangle AHK$ cân tại K

b) Xét $\triangle ABC$ có 

AH là đường trung tuyến 

BK là đường trung tuyến 

AH cắt BK tại G

$\Rightarrow G$ là trọng tâm 

$\Rightarrow CG $ đi qua trung điểm AB

Mà I là trung điểm AB  

$\Rightarrow $ I;C;G thẳng hàng

c) Do $\triangle ABC$ cân tại A 

$\Rightarrow AB =AC $

Mà I  là trung điểm AB  

K là trung điểm AC

$\Rightarrow AI=AK $ hay $\triangle AIK$ cân

Vì trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường phân giác nên suy ra  $AH$ là đường đường phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{IAH} =\widehat{KAH}$

$\Rightarrow $ đpcm

d) Vì G là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $AG=\frac{2}{3}AH$

Tương tự CG và BG cũng lập tỉ lệ 

Vậy để g cách đều 3 đỉnh hay AG=CG=BG

⇔AH=BK=CI ⇔ AB=AC=BC 

⇒$\triangle ABC$ đều