`a)` `OC=OD=R`

`=>∆OCD` cân tại $O$

Mà `H` là trung điểm $CD$ (gt) `=>HC=HD`

`=>OH` vừa là trung tuyến và đường cao $∆OCD$

`=>OH`$\perp CD$

Vì `AP`$\perp CD$; $BQ\perp CD$ (gt)

`=>AP`//$OH$//$BQ$ và `\hat{APQ}=90°`

`=>APQB` là hình thang vuông

Mà $O$ là trung điểm $AB$

`=>H` là trung điểm $PQ$ ($OH$ là đường trung bình của hình thang $APQB$)

`=>HP=HQ`

`=>HP-HC=HQ-HD`

`=>PC=DQ` (đpcm)

$\\$

`b)` Xét $∆AMB$ có:

`\qquad MO=OA=OB=R=1/2AB`

`=>∆AMB` vuông tại $M$ (vì có trung tuyến `MO` bằng nửa cạnh đối diện)

`=>AM`$\perp BQ$ tại $M$

Mà $OH$//$BQ$ (c/m câu a)

`=>OH`$\perp AM$ (đpcm)

$\\$

`c)` Vì $OH$//$BQ$

`=>\hat{HOI}=\hat{ABM}` (hai góc đồng vị)

Xét $∆HOI$ và $∆ABM$ có:

`\qquad \hat{HOI}=\hat{ABM}`

`\qquad \hat{HIO}=\hat{AMB}=90°`

`=>∆HOI∽∆ABM` (g-g)

`=>{HI}/{AM}={OH}/{AB}`

`=>OH.AM=AB.HI` (đpcm)

$\\$

`d)` Vì $OH$ là đường trung bình hình thang $APQB$ (câu a)

`=>OH={AP+BQ}/2`

Xét tứ giác $APQM$ có:

`\qquad \hat{APQ}=\hat{PQM}=\hat{AMQ}=90°`

`=>APQM ` là hình chữ nhật 

`=>AM=PQ`

$\\$

$APQB$ là hình thang vuông

`=>S_{APQB}={(AP+BQ).PQ}/2=OH.AM`

Mà `OH.AM=AB.HI` (câu c)

`=>S_{APQB}=AB.HI` $(1)$

$\\$

Vẽ $CE;DF$ vuông góc $AB$ lần lượt tại $E;F$

`=>CE`//$HI$//$DF$ 

`=>CDFE` là hình thang

Mà $H$ là trung điểm $CD$

`=>HI` là đường trung bình hình thang $CDFE$

`=>HI={CE+DF}/2`

$\\$

`\qquad S_{∆ABC}+S_{ABD}`

`=1/2 CE.AB+1/2 DF.AB`

`=AB. 1/ 2(CE+DF)=AB.HI` $(2)$

Từ `(1);(2)=>S_{APQB}=S_{∆ABC}+S_{∆ABD}` (đpcm)