`c)` Với mọi `a;b` ta có:

`\qquad (a-1/ 2 )^2\ge 0`

`=>a^2-2a . 1/ 2 +1/ 4\ge 0`

`=>a^2\ge a-1/ 4`

$\\$

`\qquad (b-1/ 2)^2\ge 0`

`=>b^2-2b . 1/ 2 +1/ 4\ge 0`

`=>b^2\ge b-1/ 4`

$\\$

`=>a^2+b^2\ge a-1/ 4 +b-1/ 4`

`\ge a+b-1/ 2=1-1/ 2=1/ 2` (vì `a+b=1`)

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=1/ 2`

Vậy `a^2+b^2\ge 1/ 2` với `a+b=1`

$\\$

`d)` (Công thức:

`(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)`

______

`\qquad a^2+5b^2-4ab+2a-6b+2`

`=(a^2+4b^2+1-4ab+2a-4b)+(b^2-2b+1)`

`=[a^2+(-2b)^2+1^2+2.a.(-2b)+2.a.1+2.(-2b).1]+(b-1)^2`

`=(a-2b+1)^2+(b-1)^2`

Với mọi `a;b` ta có: $\begin{cases}(a-2b+1)^2\ge 0\\(b-1)^2\ge 0\end{cases}$

`=>(a-2b+1)^2+(b-1)^2\ge 0`

Dấu "=" xảy ra khi:

$\begin{cases}(a-2b+1)^2=0\\(b-1)^2= 0\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}a=2b-1=1\\b=1\end{cases}$

Vậy `a^2+5b^2-4ab+2a-6b+2\ge 0` với mọi `a;b`

$\\$

`e)` Bất đẳng thức Cosi với `2` số không âm:

`\qquad x+y\ge 2\sqrt{xy}`

Bất đẳng thức Cosi với `3` số không âm:

`\qquad x+y+z\ge `$3\sqrt[3]{xyz}$

Công thức: `\sqrt{x^2}=|x|`

________

`a;b;c\ne 0` 

Ap dụng BĐT Cosi với hai số dương ta có:

`\qquad {a^2}/{b^2}+1\ge  2.\sqrt{{a^2}/{b^2}.1}=2|a/b|` 

`=>{a^2}/{b^2}\ge 2|a/b|-1` $(1)$

Tương tự ta có:

`\qquad {b^2}/{c^2}\ge 2 |b/c|-1` $(2)$

`\qquad {c^2}/{a^2}\ge 2 |c/a|-1` $(3)$

Lấy `(1)+(2)+(3)`

`=>{a^2}/{b^2}+{b^2}/{c^2}+{c^2}/{a^2}`

`\ge 2 |a/b| +2 |b/c| +2 |c/a|-3`

`\ge |a/b|+|b/c|+|c/a|+|a/b|+|b/c|+|c/a|-3`

`\ge |a/b|+|b/c|+|c/a|+`$3\sqrt[3]{|\dfrac{a}{b}|.|\dfrac{b}{c}|.|\dfrac{c}{a}|}-3$`

`\qquad ` (BĐT Cosi)

`\ge |a/b|+|b/c|+|c/a|+`$3\sqrt[3]{|\dfrac{a.b.c}{b.c.a}|}-3$

`\ge |a/b|+|b/c|+|c/a|\ge a/b+b/c+c/a`

(Tính chất `|x|\ge x` với mọi `x`)

Dấu "=" xảy ra khi: `a=b=c`

Vậy `{a^2}/{b^2}+{b^2}/{c^2}+{c^2}/{a^2}\ge a/b+b/c+c/a`

với `a;b;c\ne 0`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`c)(a-b)^2>=0`

`<=>a^2-2ab+b^2>=0`

`<=>a^2+b^2>=2ab`

`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1`

`<=>a^2+b^2>=1/2`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=1/2.`

`d)a^2+5b^2-4ab+2a-6b+2>=0`

`<=>a^2-4ab+4b^2+2a-4b+b^2-2b+2>=0`

`<=>(a-2b)^2+2(a-2b)+1+b^2-2b+1>=0`

`<=>(a-2b+1)^2+(b-1)^2>=0` luôn đúng.

Dấu "=" xảy ra khi `{(b=1),(a=2b-1=1):}`

`e)a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2>=a/b+b/c+c/a`

Ta có:

`(x-y)^2>=0<=>x^2+y^2>=2xy`

Áp dụng bổ đề trên:

`=>a^2/b^2+1>=|(2a)/b|`

`b^2/c^2+1>=|(2b)/c|`

`c^2/a^2+1>=|(2c)/a|`

`=>VT>=2(|a/b|+|b/c|+|c/a|)-3`

Áp dụng cosi cho 3 số không âm ta có:

`VT>=|a/b|+|b/c|+|c/a|+3\root{3}{|a/b|.|b/c|.|c/a|}-3=|a/b|+|b/c|+|c/a|`

`=>VT>=|a/b|+|b/c|+|c/a|>=a/b+b/c+c/a(đpcm)`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=1.`