`a)`

Xét `ΔAIH` và `ΔAEB` có:

     `hat{AIH}=hat{AEB}=90^o`

          `hat{A}:chung`

`⇒ΔAIH`$\backsim$`ΔAEB(g.g)(đpcm)`

`b)`

Theo câu `a)ΔAIH`$\backsim$`ΔAEB(g.g)`

`⇒(AI)/(AE)=(AH)/(AB)`

Hay `(AB)/(AE)=(AH)/(AI)`

Xét `ΔABH` và `ΔAEI` có:

        `hat{A}:chung`

   `(AB)/(AE)=(AH)/(AI)(cmt)`

`⇒ΔABH`$\backsim$`ΔAEI(c.g.c)`

`⇒hat{ABH}=hat{AEI}(2` góc tương ứng `)(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔABC` có:

`AE⊥BC(g``t)`

`CI⊥AB(g``t)`

`AE∩CI={H}`

`⇒H` là trực tâm của `ΔABC`

`⇒BD⊥AC`

Xét `ΔBEH` và `ΔBDC` có:

      `hat{BEH}=hat{BDC}=90^o`

        `hat{B}:chung`

`⇒ΔBEH`$\backsim$`ΔBDC(g.g)`

`⇒(BE)/(BD)=(BH)/(BC)`

`⇒BH.BD=BE.BC(1)`

Xét `ΔCEH` và `ΔCIB` có:

        `hat{CEH}=hat{CIB}=90^o`

         `hat{C}:chung`

`⇒ΔCEH`$\backsim$`ΔCIB(g.g)`

`⇒(CH)/(CB)=(CE)/(CI)`

`⇒CH.CI=CE.CB(2)`

Cộng vế theo vế `(1)` và `(2)` ta được:

`BH.BD+CH.CI=BE.BC+CE.CB`

`⇒BH.BD+CH.CI=BC.(BE+CE)`

`⇒BH.BD+CH.CI=BC.BC`

`⇒BH.BD+CH.CI=BC²(đpcm)`

`d)`

Xét `ΔIHB` và `ΔDHC` có:

   `hat{IHB}=hat{DHC}(2` góc đối đỉnh `)`

        `hat{HIB}=hat{HDC}=90^o`

`⇒ΔIHB`$\backsim$`ΔDHC(g.g)`

`⇒(HI)/(HD)=(HB)/(HC)`

Hay `(HI)/(HB)=(HD)/(HC)`

Xét `ΔIHD` và `ΔBHC` có:

       `(HI)/(HB)=(HD)/(HC)(cmt)`

    `hat{IHD}=hat{BHC}(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒ΔIHD`$\backsim$`ΔBHC(c.g.c)`

`⇒hat{D_1}=hat{C_1}(2` góc tương ứng `)`

Xét `ΔMBD` và `ΔMIC` có:

        `hat{D_1}=hat{C_1}(cmt)`

            `hat{M}:chung`

`⇒ΔMBD`$\backsim$`ΔMIC(g.g)`

`⇒(MB)/(MI)=(MD)/(MC)`

`⇒MI.MD=MB.MC(đpcm)`