Đáp án:

$\\$

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔMNH` có :

`MN + NH > MH` `(1)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔMPH` có :

`MP + PH > MH` `(2)`

Lấy `(1) + (2)` vế với vế ta được :

`-> MN + NH + MP + PH > MH + MH`

`-> MN + MP + (NH + PH) > 2MH`

`-> MN + MP + NP > 2MH` `(3)`

Do `ΔMNP` cân tại `M` (gt)

`MH` là đường cao (gt)

`-> MH` là đường trung tuyến, đường phân giác

Do $HK//MP$ (gt)

`-> hat{KHN} = hat{P}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{N}=hat{P}` (Do `ΔMNP` cân tại `M`)

`-> hat{KHN} = hat{N} (= hat{P})`

`-> ΔNHK` cân tại `K`

`-> NK = HK`

Do $HK//MP$ (gt)

`-> hat{KHM}= hat{HMP}` (2 góc so le trong)

mà `hat{KMH}=hat{HMP}` (Do `MH` là đường phân giác)

`-> hat{KHM} = hat{KMH} (= hat{HMP})`

`-> ΔMKH` cân tại `K`

`-> MK = HK` 

mà `NK=HK` (cmt)

`-> MK = NK (= HK)`

`-> K` là trung điểm của `MN`

`-> PK` là đường trung tuyến của `ΔMNP`

Xét `ΔMNP` có :

`PK` là đường trung tuyến (cmt)

`MH` là đường trung tuyến (cmt)

`PK` cắt `MH` tại `G`

`-> G` là trọng tâm của `ΔMNP`

mà `NE` là đường trung tuyến (gt)

`-> NG = 2/3 NE`

`-> 2NE = 3NG`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔMNE` có :

`MN +ME > NE` `(4)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔNEP` có :

`NP + EP >NE` `(5)`

Lấy `(4) + (5)` vế với vế ta được :

`-> MN + ME + EP + NP> NE + NE`

`-> MN + (ME + EP) + NP > 2NE`

`-> MN + MP + NP > 3NG` `(6)`

Lấy `(3) + (6)` vế với vế ta được :

`-> MN + MP + NP + MN + MP + NP > 2MH + 3NG`

`-> (MN+MN) + (MP+MP) + (NP+NP) > 2MH + 3NG`

`-> 2MN + 2MP + 2NP > 2MH + 3NG`

`-> 2 (MN+MP+NP) > 2MH+ 3NG`

`-> MN + MP + NP > MH + 3NG`

mà `P_{ΔMNP} = MN+ MP + NP`

`-> P_{ΔMNP} > MH + 3NG` (đpcm)