$A(1;3);\quad B(-2;5)$

a) Ta có: $d//\Delta$

$\Rightarrow d$ nhận $VTPT\ \overrightarrow{n}= (1;-2)$ của $\Delta$ làm $VTPT$

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(1;3)$ và nhận $\overrightarrow{n}= (1;-2)$ làm $VTPT$ có dạng:

$d: 1(x-1) - 2(y-3)= 0$

$\Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0$

b) Gọi $(C)$ là đường tròn cần tìm

Do $(C)$ có tâm $A$ và đi qua $B$

nên $AB = \sqrt{13}$ là bán kính của $(C)$

Phương trình đường tròn tâm $A(1;3)$, bán kính $R=\sqrt{13}$ có dạng:

$(C): (x-1)^2 + (y-3)^2 = 13$

c) $(C): x^2 + y^2 - 6x+2y + 6 = 0$

$\Leftrightarrow (x-3)^2 + (y+1)^2 = 4$

$\Rightarrow (C)$ có tâm $I(3;-1);\ R = 2$

Gọi $M(a;b)$ là toạ độ tiếp điểm và $d$ là đường thẳng cần tìm

$\Rightarrow IM = R$

$\Rightarrow IM^2 = R^2$

$\Rightarrow (a-3)^2 + (b+1)^2 = 4$

Mặt khác:

Do $d$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$

nên $IM\perp d$

hay $IM\perp AM$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad IA^2 = IM^2 + AM^2$

$\Leftrightarrow 20 = 4 + (a-1)^2 + (b-3)^2$

$\Leftrightarrow (a-1)^2 + (b-3)^2 = 16$

Ta được hệ phương trình:

$\quad\begin{cases}(a-3)^2 + (b+1)^2 = 4\\(a-1)^2 + (b-3)^2 = 16\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}\\\begin{cases}a = \dfrac{21}{5}\\b = \dfrac35\end{cases}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}M_1(1;-1)\\M_2\left(\dfrac{21}{5};\dfrac35\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\overrightarrow{M_1I}=\overrightarrow{n_1}=(2;0)\\\overrightarrow{M_2I}=\overrightarrow{n_2}= \left(-\dfrac65;-\dfrac85\right)\end{array}\right.$

+) Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(1;3)$ và nhận $\overrightarrow{n_1}=(2;0)$ làm $VTPT$ có dạng:

$d_1: 2(x-1) + 0(y-3)= 0$

$\Leftrightarrow x -1 = 0$

+) Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(1;3)$ và nhận $\overrightarrow{n_2}=\left(-\dfrac65;-\dfrac85\right)$ làm $VTPT$ có dạng:

$d_2: -\dfrac65(x-1) - \dfrac85(y-3)= 0$

$\Leftrightarrow 3x + 4y -15 = 0$