Đáp án:  

$\\$

`a,`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2+ AC^2=BC^2` (Pitago)

`-> BC^2 =6^2 + 8^2`

`-> BC^2 = 10^2`

`-> BC = 10cm`

$\\$

`b,`

Xét `ΔABM` và `ΔEBM` có :

`hat{BAM}=hat{BEM}` (Do `ΔABC` vuông tại `A, ME⊥BC`)

`BM` chung

`hat{ABM} = hat{EBM}` (Do `BM` là tia phân giác của `hat{B}`)

`-> ΔABM = ΔEBM` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AB =EB` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔABE` cân tại `B`

`-> hat{BAE} = hat{BEA}`

Có : `hat{HAE} + hat{BEA}=90^o` (Do `AH⊥BC`)

Có : `hat{CAE} + hat{BAE} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

mà `hat{BAE}=hat{BEA}` (cmt)

`-> hat{HAE}=hat{CAE}`

`-> AE` là tia phân giác của `hat{CAH}`

$\\$

`c,`

Có : `AB=EB` (cmt)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE` `(1)`

Do `ΔABM = ΔEBM` (cmt)

`-> AM=EM` (2 cạnh tương ứng)

`-> M` nằm trên đường trung trực của `AE` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`->BM` là đường trung trực của `AE`

Xét `ΔMEC` có :

`hat{MEC}=90^o` (Do `ME⊥BC`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`MC` là cạnh lớn nhất

`-> MC > ME`

mà `AM=ME` (cmt)

`-> AM < MC`

$\\$

`d,`

Xét `ΔAMI` và `ΔEMC` có :

`hat{AMI}=hat{EMC}` (2 góc đối đỉnh)

`AM=EM` (cmt)

`hat{IAM}=hat{CEM}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A, ME⊥BC`)

`-> ΔAMI = ΔEMC` (góc - cạnh - góc)

`-> AI = EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : `BI = AB + AI, BC = EB + EC`

mà `AB=EB` (cmt), `AI =EC` (cmt)

`-> BI = BC`

`-> ΔBIC` cân tại `B`

$\\$

`e,`

Có : `hat{HKC} + hat{HCK}=90^o` (Do `KH⊥BC`)

`-> hat{HKC} < 90^o`

Có : `hat{HKC} + hat{AKC}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{HKC} < 90^o`

`-> hat{AKC} > 90^o`

`-> hat{AKC}` là góc tù

Xét `ΔAKC` có :

`hat{AKC}` là góc tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AC` là cạnh lớn nhất

`-> KC < AC` `(3)`

Có : `hat{HKB} + hat{KBH}=90^o` (Do `KH⊥BC`)

`-> hat{HKB} < 90^o`

Có : `hat{HKB} + hat{AKB}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{HKB} < 90^o`

`-> hat{AKB} > 90^o`

`-> hat{AKB}` là góc tù

Xét `ΔAKB` có :

`hat{AKB}` là góc tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`AB` là cạnh lớn nhất

`-> KB < AB` `(4)`

Lấy `(3) + (4)` vế với vế ta được :

`-> KB + KC < AB + AC`

a) áp dụng định lý Pytago và Δ vuông ABC

 có BC²=AB²+AC²

BC²=6 ²+8²

BC²=36+64

BC²=100

BC²=10²

BC=10 cm

b)xét ΔABM và ΔEBM

có ^ABM=^EBM(gt)

^BAM=^BEM=90

 BM chung

⇒ΔABM = ΔEBM(gcg)

⇒^AMB=^EMB(2 góc tương ứng)

AM=ME(2 cạnh tương ứng)

GỌI N ∈BM

xét Δ ANM và ΔENM 

có  AM=ME(cmt)

^AMB=^EMB(cmt)

NM chung

⇒ Δ ANM = ΔENM (cgc)

⇒^MAN=^MEN(2 góc tương ứng) (1)

AH⊥BC

ME⊥BC

⇒AH//ME

⇒^HAE=^AEM (2)

từ (1) và (2)

⇒^HAE=^MAN

⇒AE là phân giác ^CAH

c)ΔABM =ΔEBM(câu b)

⇒AB=BE (2 cạnh tương ứng)

AM =ME(cmt)

mà B,M ∈ trung trực AE

⇒BM là đường trung trực AE

vậy đpcm

xét Δ vuông MEC có MC>ME

⇒MC>AM( do AM=ME)

vậy AM<MC

d) xét ΔAIM và ΔECM có

AM=ME(cmt)

^IAM=^CEM=90

^AMI=^EMC(đđ)

⇒ΔAIM = ΔECM(gcg)

⇒AI=EC( 2 cạnh tương ứng)

mà AB+AI=BI

BE+EC=BC

⇒BI=BC( do AB=BE ;AI=EC =cmt)

⇒ΔBIC cân tại B 

vậy đpcm 

Chúc bạn học tốt 

bạn thông cảm nha câu e mình ko biết làm