a)

Xét tam giác ABM và ANM ta có:

AB=AN

AM chung

góc BAM=NAM(do AM là TPG)

=>tam giác ABM = ANM (c-g-c)

=>MB=MN

b)

Ta có:

tam giác ABM = ANM(Phần a)

=>góc ABM=ANM

=>góc MBK=MNC(do kề bù với 2 góc trên)

Xét tam giác BMK và NMC ta có:

BMK=NMC(đối đỉnh)

MB=MN(phần a)

góc MBK=MNC(cmt)

=>tam giác BMK = NMC(g-c-g)

c)

AM⊥KC:

Ta có:

tam giác BMK = NMC(phần b)

=>KB=NC

và AB=AN(gt)

=>AB+KB=AN+NC

hay AK=AC

=> tam giác AKC cân

mà AM là TPG của góc KAC và trong tam giác cân đg cao trùng với đg phân giác 

=>AM⊥KC

BN//KC:

ta có tam giác ABN cân(do AB=AN)

mà AM là TPG của góc BAN và trong tam giác cân đg cao trùng với đg phân giác 

=>AM⊥BN

và AM cũng ⊥ với KC(cmt)

=>BN//KC(từ ⊥ -> //)

d)

Ta có :

BC-NB<NC(1)(bất đẳng thức tam giác)

mà AC-AN=NC và AN=AB

=>AC-AB=NC(2)

Từ 1 và 2 ta có:

AC-AB=NC và BC-NB<NC

=>AC-AB>BC-NB(đpcm)