a,

• TXĐ: $D=\mathbb{R}$ \ $\{2\}$

• Sự biến thiên của hàm số:

$\lim\limits_{x\to 2^+}y=+\infty$

$\to$ TCĐ $x=2$

$\lim\limits_{x\to \pm\infty}y=3$

$\to$ TCN $y=3$

$y'=\dfrac{-3.2-3.1}=\dfrac{-9}{(x-2)^2}<0\forall x\ne 2$

$\to$ hàm số nghịch biến trên $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$

• Vẽ đồ thị 

Đồ thị nhận $(2;3)$ làm tâm đối xứng 

Đồ thị cắt Oy tại $(0;-0,5)$, cắt Ox tại $(-1;0)$

Ta có đồ thị như hình   

b,

$y=\dfrac{3x+3}{x-2}$

$y'=\dfrac{-9}{(x-2)^2}$ 

Gọi tiếp điểm: $(x_o; f(x_o))$

PTTT: 

$y=\dfrac{-9(x-x_o)}{(x_o-2)^2}+\dfrac{3x_o+3}{x_o-2}$

$=\dfrac{-9x}{(x_o-2)^2}+\dfrac{9x_o+(3x_o+3)(x_o-2)}{(x_o-2)^2}$

$=\dfrac{-9x}{(x_o-2)^2}+\dfrac{3x_o^2+6x_o-6}{(x_o-2)^2}$

Ta có: $\dfrac{3x_o^2+6x_o-6}{(x_o-2)^2}=0$

$\to x_o=-1\pm\sqrt3$

Vậy PTTT là: $y=\dfrac{-6\mp 3\sqrt3}{2}x$

c,

$y=\dfrac{3x+3}{ x-2}=\dfrac{3x-6+9}{x-2}=3+\dfrac{9}{x-2}\in\mathbb{Z}$

$\to x-2\in\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\}$

$\to x\in\{3; 1; 5; -1; 11; -7\}$

Vậy các điểm là: $(3;12), (1;-6), (5;6), (-1; 0), (11; 4), (-7;2)$