Đáp án:

$A.\ V = \dfrac{a^3}{8}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

Các mặt bên cùng tạo với đáy cùng một góc $45^\circ$

$\Rightarrow$ Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là giao điểm $3$ đường phân giác

Ta lại có:

Hình chiếu của $S$ nằm ngoài $\triangle ABC$

$\Rightarrow$ Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là tâm đường tròn bàng tiếp của $\triangle ABC$

Giả sử $H$ là hình chiếu của $S$ và là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh $AB$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow H\in CM$

$\Rightarrow HM = p_{ABC}.\tan\dfrac{\widehat{C}}{2}= \dfrac{3a}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Khi đó:

$\begin{cases}HM\perp AB\quad (H\in CM)\\SH\perp AB\quad (SH\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow AB\perp (SHM)$

$\Rightarrow AB\perp SM$

Ta được:

$\begin{cases}(SAB)\cap (ABC) = AB\\SM\perp AB\quad (cmt)\\SM\subset (SAB)\\HM\perp AB\quad (cmt)\\HM\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SAB);(ABC))} = \widehat{SMH} = 45^\circ$

$\Rightarrow SH = HM.\tan45^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Do đó:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SH = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a^3}{24}$

Vậy $V = \dfrac{a^3}{8}$