a) ΔABD và ΔACE ⊥ A ⇒ ∠DAB = ∠EAC =90o

∠DAC= ∠DAB+ ∠BAC

∠BAE = ∠EAC + ∠BAC

⇒ ∠DAC=∠BAE (cùng bằng 90o +ˆBAC )

Xét ΔABE và ΔADC có:

AB=AD (do ΔABD vuông cân đỉnh A)

ˆBAE=ˆDAC (chứng minh trên)

AE=AC (do ΔACE cân đỉnh A)

⇒ΔABE=ΔADC (c.g.c)

ˆB1=ˆD1 (hai góc tương ứng) (1)

⇒BE=DC (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)

+) Gọi DC cắt BE tại I

và gọi AB cắt DC tại J

Ta có: ˆDIE=ˆIBJ+ˆIJB (góc ngoài ΔIJB)

=ˆB1+ˆJ2 sử dụng (1) và ˆJ2=ˆJ1 (đối đỉnh)

=ˆD1+ˆJ1=D1^+J1^

=90o (do ΔADJ⊥A)

⇒ˆDIE=90o⇒DI⊥IE⇒DIE^=90o⇒DI⊥IE hay DC⊥BEDC⊥BE (đpcm)

b) Kẻ DM⊥AH và EN⊥AH và gọi AH cắt DE tại OO

Xét hai tam giác vuông ΔMAD và ΔHBA có:

AD=ABB (do ΔABD cân đỉnh A)

ˆMAD=ˆHBA (cùng phụ với ˆHAB )

⇒ΔMAD=ΔHBA (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒DM=AH (hai cạnh tương ứng) (2)

Chứng minh tương tự ΔNAE=ΔHCA (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒EN=AH (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (2) và (3) suy ra DM=EN

Xét hai tam giác vuông ΔMOD và NOE có:

DM=EN (chứng minh trên)

ˆMOD=ˆNOE (đối đỉnh)

⇒ΔMOD=ΔNOE (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒DO=EO⇒O là trung điểm của DE
AH cắt DE tại O (cách dựng)

Vậy AHAH đi qua trung điểm của DE (đpcm).