Bổ sung đề bài: $AH$ là chiều cao của $\triangle ABC$

Lời giải:

a) Ta có:

$AB^2 = 9^2 = 81$

$AC^2 = 12^2 = 144$

$BC^2 = 15^2 = 225 = 81 + 144$

$\Rightarrow BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$ (định lý Pytago đảo)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$+)\quad AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}$

$\Leftrightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{9.12}{15}$

$\Leftrightarrow AH = \dfrac{36}{5}\ cm$

$+)\quad AB^2 = BH.BC$

$\Leftrightarrow BH= \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{9^2}{15}$

$\Leftrightarrow BH = \dfrac{27}{5}\ cm$

c) Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$ đường cao $HE$ ta được:

$AH^2 = AE.AB$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ACH$ vuông tại $H$ đường cao $HI$ ta được:

$AH^2 = AI.AC$

Do đó:

$AE.AB = AI.AC\quad (=AH^2)$

d) Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow AM = MB = MC = \dfrac12BC$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $H$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad AH^2 = BH.HC$

$\Rightarrow AH = \sqrt{BH.HC}$

Ta có:

$\quad AH \leqslant AM$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên)

$\Leftrightarrow \sqrt{BH.HC} \leqslant \dfrac{BC}{2}$

Dấu $=$ xảy ra $H\equiv M$

$\Leftrightarrow \begin{cases}AM = MB = MC = \dfrac12BC\\AM\perp BC\end{cases}$

$\Leftrightarrow \triangle ABC$ vuông cân tại $A$