Lời giải:

a) Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAK$ có:

$\begin{cases}\widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ\\AB = AC\quad (gt)\\\widehat{HBA} = \widehat{KAC}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{HAB}$})\end{cases}$

Do đó $\triangle ABH = \triangle CAK$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \begin{cases}BH = AK\\AH = CK\end{cases}$ (hai cạnh tương ứng)

Ta được:

$BH + CK = AK + AH = HK$

b) Ta có:

$BH^2 + CK^2 = AK^2 + AH^2$

$BH^2 + CK^2 = BH^2 + AH^2 = AB^2$ (định lý Pytago)

Vậy $BH^2 + CK^2 = AK^2 + AH^2 = AB^2$

c) Trên nửa mặt phẳng bờ $AC$ không chứa điểm $B$ dựng điểm $N$ sao cho $\triangle AMN$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \begin{cases}AM = AN\\\widehat{AMN} = \widehat{ANM} = 45^\circ\\MN^2 = AM^2 + AN^2 = 2MA^2\qquad (1)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{CMN} = \widehat{AMC} - \widehat{AMN} = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

$\Rightarrow \triangle MNC$ vuông tại $M$

$\Rightarrow NC^2 = MN^2 + MC^2\qquad (2)$

Xét $\triangle ANC$ và $\triangle AMB$ có:

$\begin{cases}AN = AM\quad \text{(cách dựng)}\\AC = AM\quad (gt)\\\widehat{NAC} = \widehat{MAB}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{MAC}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle ANC = \triangle AMB\ (c.g.c)$

$\Rightarrow NC = MB$ (hai cạnh tương ứng) $(3)$

Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow MB^2 = 2MA^2 + MC^2$

$\Leftrightarrow MA^2 = \dfrac{MB^2 - MC^2}{2}$

Đáp án ở dưới hình =))

Thấy hay cho chị⭐⭐⭐⭐⭐ và tlhn nha =))

Chúc em học tốt =))