a) Ta có:

+)

$S_{AMN}=\dfrac25S_{AMC}$ (cùng chiều cao hạ từ M, đáy $AN=\dfrac25 AC$)

$S_{AMC}=\dfrac25S_{ABC}$ (cùng chiều cao hạ từ C, đáy $AM=\dfrac25AB$)

Nên $S_{AMN}=\dfrac25\times\dfrac25S_{ABC}=\dfrac4{25}\times250=40cm^2$

+)

$S_{NIC}=\dfrac35S_{AIC}$ (cùng chiều cao hạ từ I, đáy $NC=\dfrac35AC$)

$S_{AIC}=\dfrac13S_{ABC}$ (cùng chiều cao hạ từ A, đáy $IC=\dfrac13BC$)

Nên $S_{NIC}=\dfrac35\times\dfrac13S_{ABC}=\dfrac15\times250=50cm^2$

+)

$S_{MNIB}=S_{ABC}-S_{AMN}-S_{NIC}=250-40-50=160cm^2$

b)

$IC=\dfrac13BC$ nên $IC=\dfrac13\times30=10cm$

Chiều cao hạ từ N của tam giác NIC là:

$50\times2:10=10cm$

Chiều cao hạ từ N của hình thang MNIB bằng chiều cao hạ từ N của tam giác NIC bằng 10cm

Đáy lớn của hình thang MNIB là BI, và $BI=\dfrac23BC$

Độ dài đáy lớn hình thang MNIB, BI là:

$\dfrac23\times30=20cm$

MN là đáy nhỏ hình thang MNIB có độ dài là:

$160\times2:10-20=12cm$

Đáp số: a) $40cm^2,160cm^2$

               b) $12cm$