Sửa đề:

$F$ là giao điểm của $AB$ và $DE$

Chứng minh $DF = DC$

Lời giải:

a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle EBD$ có:

$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{E} = 90^\circ\\\widehat{ABD} = \widehat{EBD}\quad (gt)\\BD:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó: $\triangle ABD = \triangle EBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \begin{cases}AB = EB\\AD = ED\end{cases}$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle ADF$ và $\triangle EDC$ có:

$\begin{cases}\widehat{A} = \widehat{E} = 90^\circ\\\widehat{ADF} = \widehat{EDC}\quad \text{(đối đỉnh)}\\AD = ED\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle ADF = \triangle EDC$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

$\Rightarrow DF = DC$ (hai cạnh tương ứng)

b) Xét $\triangle ADF$ vuông tại $A$ luôn có:

$AD < DF$ (cạnh góc vuông < cạnh huyền)

mà $DF = DC$ (câu a)

nên $AD < DC$

c) Ta có:

$\begin{cases}AB = EB\\AD = ED\end{cases}$ (câu a)

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AE$

$\Rightarrow BD\perp AE\qquad (1)$

Xét $\triangle BCF$ có:

$FE$ là đường cao $(DE\perp BC)$

$CA$ là đường cao $(AC\perp AB)$

$FE$ cắt $CA$ tại $D$

$\Rightarrow D$ là trực tâm của $\triangle BCF$

$\Rightarrow BD$ là đường cao

$\Rightarrow BD\perp FC\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow AE//FC\quad (\perp BD)$

Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có :

`hat{BAD}=hat{BED}` (gt)

`BD` chung

`hat{ABD}=hat{EBD}` (gt)

`-> ΔABD = ΔEBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AD = ED` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có :

`hat{ADF}=hat{EDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD=ED` (cmt)

`hat{FAD}=hat{CED}=90^o` (gt)

`-> ΔADF  = ΔEDC` (góc - cạnh - góc)

`-> DF = DC` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`b,`

Xét `ΔDEC` có :

`hat{DEC}=90^o` (gt)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> ED < DC`

mà `AD=ED` (cmt)

`-> AD < DC`

$\\$

`c,`

Do `ΔABD = ΔEBD` (cmt)

`-> AB=EB` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔABE` cân tại `B`

`-> hat{BAE}=(180^o-hat{B})/2` `(1)`

Do `ΔADF = ΔEDC` (cmt)

`-> AF = EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : $\begin{cases} AB + AF = BF\\EB + EC =BC\end{cases}$

mà `AB=EB` (cmt) và `AF=EC` (cmt)

`-> BF = BC`

`-> ΔFBC` cân tại `B`

`-> hat{BFC}=(180^o-hat{B})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{BAE}=hat{BFC} (= (180^o-hat{B})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ AE//FC$