Câu c) này cần dùng câu a) để chứng minh nên ta đi chứng minh câu a)

Ta có $MB=DP$ và $MB//DP$ nên được $MBPD$ là hình bình hành. Tương tự $AQNC$ là hình bình hành.

Chứng minh được $A_1M$ song song với $BB_1$ mà $M$ là trung điểm AB nên $A_1M$ là đường trung bình của tam giác $ABB_1$. Tương tự với $C_1P$ của tam giác $CD_1D$

Được: $A_1M=\dfrac1 2 BB_1$  và $C_1P=\dfrac 1 2 DD_1$

$\Rightarrow A_1D_1=B_1C_1, A_1B_1=C_1D_1$ nên $A_1B_1C_1D_1$ là hình bình hành.

Chứng minh được $A_1MBN$ là tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh 
$\begin{array}{l} \Delta ADM = \Delta BAN\left( {c - g - c} \right)\\  \Rightarrow \widehat {AM{A_1}} = \widehat {BNA}\\  \Rightarrow \widehat {BM{A_1}} = {180^o} - \widehat {MBN} = {90^o} \end{array}$

Suy ra $A_1B_1C_1D_1$ là hình vuông.

$\begin{array}{l} \Delta {A_1}AO = \Delta {C_1}CO\left( {c - g - c} \right)\\ \Delta O{D_1}D = \Delta O{B_1}B\left( {c - g - c} \right) \end{array}$

Suy ra được:

$\left\{ \begin{array}{l} \widehat {{A_1}OA} = \widehat {{C_1}OC}\\ \widehat {{D_1}OD} = \widehat {BO{B_1}} \end{array} \right.$

Mà các góc này ở vị trí đối đỉnh nên ta được $A_1,O,C_1$ thẳng hàng và $D_1,O,B_1$ thẳng hàng hay $O$ là tâm của hình vuông $A_1B_1C_1D_1$