Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABM` và `ΔADM` có :

`AM` chung

`AB=AD` (gt)

`hat{BAM}=hat{DAM}` (gt)

`-> ΔABM = ΔADM` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`b,`

Do `ΔABM = ΔADM` (cmt)

`-> BM = DM` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔMBD` cân tại `M`

$\\$

`c,`

Có : `hat{B}=90^o` (gt)

`-> CB⊥AK`

`-> CB` là đường cao của `ΔAKC`

Do `ΔABM  = ΔADM` (cmt)

`-> hat{B}=hat{ADM}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{B}=90^o` (gt)

`-> hat{ADM}=90^o`

`-> KD⊥AC`

`-> KD` là đường cao của `ΔAKC`

Xét `ΔAKC` có :

`KD` là đường cao (cmt)

`CB` là đường cao (cmt)

`KD` cắt `CB` tại `M`

`-> M` là trực tâm của `ΔAKC`

`-> AM` là đường cao của `ΔAKC`

`-> AM⊥KC`

$\\$

`d,`

Có : `hat{B}=hat{ADM}` (cmt)

hay `hat{ABC}=hat{ADM}`

Có : `hat{ADM} + hat{MDC}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{ADM}=hat{ABC}` (cmt)

`-> hat{ABC} + hat{MDC}=180^o`

`-> hat{MDC}=180^o - hat{ABC}`

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :

`hat{A} + hat{DCM} + hat{ABC} = 180^o`

`-> hat{A} + hat{DCM}=180^o - hat{ABC}`

mà `hat{MDC} = 180^o - hat{ABC}` (cmt)

`-> hat{A} + hat{DCM}=hat{MDC}`

`-> hat{DCM} < hat{MDC}`

Xét `ΔMDC` có :

`hat{DCM} < hat{MDC}` (cmt)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DM < CM`

mà `BM =DM` (cmt)

`-> BM  < CM`

a. Xét ΔABM và ΔADM có: 

AB=AD (theo giả thuyết)

$\widehat{BAM}$=$\widehat{DAM}$ (AM phân giác $\widehat{B}$)

AM là cạnh chung

→ΔABM=ΔADM (c.g.c)

b. Ta có: ΔABM=ΔADM (chứng minh trên)

$\widehat{ABM}$=$\widehat{ADM}$ (hai góc tương ứng)

→BM=DM (hai cạnh tương ứng)

→ΔMBD cân tại M (theo định nghĩa)

c. Ta có: $\widehat{ABM}$=90° (theo giả thuyết)

mà $\widehat{ABM}$=$\widehat{ADM}$ (chứng minh trên)

→$\widehat{ABM}$=$\widehat{ADM}$=90°

→CB ⊥ AK và KD ⊥ AC

→CB là đường cao của ΔAKC

→KD cũng là đường cao của ΔAKC

Trong ΔAKC có: 

CB là đường cao của ΔAKC

KD cũng là đường cao của ΔAKC

mà CB và KD cắt nhau tại M

→M là trực tâm của ΔAKC

→AM cũng là đường cao của ΔAKC

→AM ⊥ KC

d. Trong ΔDMC vuông tại D có

DM > CM (cạnh huyền>cạnh góc vuông)

mà BM=DM (chứng minh trên)

→BM > CM (điều phải chứng minh)