Đáp án+Giải thích các bước giải:

 $*$ Bài $97 :$

Ta có : $ \dfrac{AC}{AB'}=\dfrac{AB}{AC'}=2$

$⇔ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC'}{AB'}$

Lại có : $\begin{cases} A'C'//A'B'\\A'B'//AC' \end{cases}$

$⇒AB'A'C'$ là hình bình hành

$⇒ \begin{cases} A'C'=A'B'\\A'B'=AC' \end{cases}$

$⇒\dfrac{A'B'}{A'C'}=\dfrac{AC'}{AB'}=\dfrac{AB}{AC}$

Mà $\dfrac{A_{1}B'}{A_{1}C'}=\dfrac{AB}{AC}$

$⇒\dfrac{A'B'}{A'C'}=\dfrac{A_{1}B'}{A_{1}C'}$

$-$Giả sử : Cho $ΔDEF$ Có $M$ thuộc $EF$

và $\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{DE}{DF}$. Cm $DM$ là phân giác $∠EDF$

kẻ $MN //DE;MG//DF(N∈DF;G∈DE)$

$⇒DGMN$ là hình bình hành

Xét $ΔDEF$ có : $MN //DE;MG//DF(N∈DF;G∈DE)$

$⇒\begin{cases} \dfrac{ME}{MF}=\dfrac{DN}{NF}(ĐL Ta Lét )\\\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{NM}{NF}(HQĐL Ta Lét ) \end{cases}$

Mà $\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{DE}{DF}$

$⇒\dfrac{DN}{NF}=\dfrac{NM}{NF}$

$⇒DN=MN$

Mà $DGMN$ là hình bình hành

$⇒DM$ là phân giác $∠EDF$

Vậy kết luận trong một tam giác , đường thẳng của một góc chia cạnh đối diện góc đó ra hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó thì đường thẳng ấy là đường phân giác của góc đó

Quay lại bài :

Vậy từ giả sử trên thì ta sẽ có được : $ A'A_{1}$ là phân giác $∠B'A'C'$

hay $∠A_{1}A'B'=∠A_{1}A'C'$ ( ĐPCM )

$*$ Bài $98:$

$1)$ Ta có : $AB//A'E$

$⇒∠AA'E=∠A'AB$

Mà $∠BAA'=∠CAA'$ ( $AA'$ là phân giác $∠BAC$ )

$⇒∠A'AE=∠AA'E$

$⇒ΔAEA'$ cân tại $E$

$⇒AE=EA'(=x)$ ( ĐPCM thứ 1 )

Xét $ΔABC$ Có : $AB//A'E$

$⇒ \dfrac{A'E}{AB}=\dfrac{EC}{AC}$ ( HQ ĐL Ta Lét )

$⇒ \dfrac{A'E}{AB}=\dfrac{AC-AE}{AC}$

Mà $AE=EA'(=x)$

$⇒ \dfrac{x}{AB}=\dfrac{AC-x}{AC}$ ( ĐPCM thứ 2 )

$⇒ \dfrac{x}{AB}=1-\dfrac{x}{AC}$

$⇒ \dfrac{x}{AB}+\dfrac{x}{AC}=1$

$⇒x( \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC})=1$

$⇒x\dfrac{AB+AC}{AB.AC}=1$

$⇒x=\dfrac{AB.AC}{AB+AC}$

$2)$ Xét $ΔAA'E$ có :

$AA'<AE+EA'$ ( Áp dụng BĐT trong tam giác )

$⇔AA'<2x$

Từ câu $1)$ Có $x=\dfrac{AB.AC}{AB+AC}$

$⇒AA'<\dfrac{2AB.AC}{AB+AC}$

$⇔\dfrac{1}{AA'}>\dfrac{AB+AC}{2AB.AC}=\dfrac{1}{2}\dfrac{AB+AC}{AB.AC}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{AB})$

$3)$ CMTT câu $2$ Ta được :
$⇔\dfrac{1}{BB'}>\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC})$

$⇔\dfrac{1}{CC'}>\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{BC})$

Do đó : $\dfrac{1}{AA'}+\dfrac{1}{BB'}+\dfrac{1}{CC'}>\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{AB})+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC})+\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{BC})$

$⇔\dfrac{1}{AA'}+\dfrac{1}{BB'}+\dfrac{1}{CC'}>\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}+\dfrac{1}{AC}$