Giải thích các bước giải:

Bài 4:

Đổi 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ

 Gọi thời gian lúc đi của người đó là \(x\left( h \right)\,\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

Tổng thời gian cả đi và về là 3,5 giờ nên thời gian lúc về của người đó là \(3,5 - x\,\,\,\left( h \right)\)

Do quãng đường AB không thay đổi nên ta có phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
40.x = 30.\left( {3,5 - x} \right)\\
 \Leftrightarrow 40.x = 30.3,5 - 30x\\
 \Leftrightarrow 40x = 105 - 30x\\
 \Leftrightarrow 70x = 105\\
 \Leftrightarrow x = 1,5\,\,\,\left( h \right)
\end{array}\)

Độ dài quãng đường AB là:  \(40x = 40.1,5 = 60\,\,\,\left( {km} \right)\)

Bài 8:

Gọi số ngày khai thác theo kế hoạch là \(x\) ngày \(\left( {x \in {N^*}} \right)\)

Khi đó, lượng than đội phải khai thác theo kế hoạch là  \(50.x\,\,\,\,\left( {{m^3}} \right)\)

Trên thực tế, mỗi ngày, đội khai thác hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày nên số ngày khai thác thực tế là \(x - 1\), với lượng than mỗi ngày khai thác được là \(57\left( {{m^3}} \right)\)

Do đó, trên thực tế, lượng than đội khai thác được là \(57.\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( {{m^3}} \right)\)

Do lượng than khai thác thực tế vượt kế hoạch \(13{m^3}\) nên ta có phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
57.\left( {x - 1} \right) - 50x = 13\\
 \Leftrightarrow \left( {57x - 57} \right) - 50x = 13\\
 \Leftrightarrow 57x - 57 - 50x - 13 = 0\\
 \Leftrightarrow 7x - 70 = 0\\
 \Leftrightarrow x = 10
\end{array}\)

Vậy lượng than đội phải khai thác theo kế hoạch là:    \(50x = 500\,\,\,\left( {{m^3}} \right)\)

Bài 10:

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là  \(x\,\,\left( m \right)\,\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là \(3x\,\,\,\,\left( m \right)\)

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật ban đầu là:    \(x.3x = 3{x^2}\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)

Theo giả thiết, chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lúc sau lần lượt là \(3x - 10;\,\,\,x + 2\,\,\,\,\left( m \right)\)

Diện tích của hình chũ nhật lúc sau là:  \(\left( {3x - 10} \right).\left( {x + 2} \right)\)

Do diện tích hình chữ nhật giảm \(60{m^2}\) nên ta có phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
3{x^2} - \left( {3x - 10} \right).\left( {x + 2} \right) = 60\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {3{x^2} + 6x - 10x - 20} \right) = 60\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 4x - 20} \right) = 60\\
 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{x^2} + 4x + 20 = 60\\
 \Leftrightarrow 4x + 20 = 60\\
 \Leftrightarrow x = 10
\end{array}\)

Vậy diện tích của hình chữ nhật ban đầu là:

\[3{x^2} = {3.10^2} = 300\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\]

Bài 11:

Gọi thời gian máy thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) ngày    \(\left( {x \in {N^*}} \right)\)

Suy ra, mỗi ngày, máy thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc,

Nếu 2 máy cùng làm thì 4 ngày sẽ xong công việc nên mỗi ngày, cả 2 máy làm được \(\dfrac{1}{4}\) công việc.

Do đó, mỗi ngày, máy thứ 2 làm được \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{x}\) công việc.

Theo giả thiết ta có phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
2.\dfrac{1}{4} + 6.\left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{x}} \right) = 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{6}{x} = 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{6}{x} = 1\\
 \Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)

Vậy người thứ nhất làm một mình thì cần 6 ngày để hoàn thiện công việc, người thứ hai cần 12 ngày thì hoàn thành công việc.