Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `AM` là đường trung tuyến

`-> M` là trung điểm của `BC`

`-> BM=CM`

Xét `ΔAMB` và `ΔDMC` có :

`hat{AMB}=hat{DMC}` (2 góc đối đỉnh)

`BM=CM` (chứng minh trên)

`MA=MD` (giả thiết)

`-> ΔAMB = ΔDMC` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`b,`

Do `ΔAMB = ΔDMC` (chứng minh trên)

`-> AB=DC` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{BAM}=hat{CDM}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AB//DC$

Do `ΔABC` vuông tại `A`

`-> AB⊥AC`

mà $AB//DC$ (chứng minh trên)

`-> DC⊥AC`

Xét `ΔBAC` và `ΔDCA` có :

`AB=DC` (chứng minh trên)

`AC` chung

`hat{BAC}=hat{DCA}=90^o` (Do `AB⊥AC, DC⊥AC`)

`-> ΔBAC = ΔDCA` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`c,`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 +AC^2=BC^2`

`-> BC^2=6^2 +8^2`

`-> BC^2=10^2`

`->BC=10cm`

Do `ΔBAC = ΔDCA` (chứng minh trên)

`-> BC = AD` (2 cạnh tương ứng)

mà `BC=10cm`

`-> AD=10cm`

Có : `MA=MD` (giả thiết)

`-> M` là trung điểm của `AD`

`-> AM = 1/2 AD`

`->AM=1/2.10`

`-> AM=5cm`

$\\$

`d,`

Có : `M` là trung điểm của `AD`

`-> AM=1/2AD`

`-> AD=2AM`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔACD` có :

`DC + AC > AD`

mà `AB=DC` (chứng minh trên), `AD=2AM` (chứng minh trên)

`-> AB + AC > 2AM`

`-> AM < (AB+AC)/2`